MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE FUNCIONES

MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE FUNCIONES

1. Los movimientos rígidos son una parte de las transformaciones del plano en si mismo, su estudio tiene varios propósitos, uno de ellos es encontrar los invariantes para cada uno de estos movimientos, otro es utilizar los invariantes anteriores, ya validados, para justificar propiedades de una figura, también pueden utilizarse para verificar la congruencia entre elementos de dos figuras dadas en el plano y finalmente, hallar las ecuaciones que representan a dichos movimientos en casos especiales.

   • La definición es equivalente a que d(P, Q) = d(f(P), f(Q)), para cualesquiera puntos P y Q. De la misma forma, se dice que f es directo o inverso si lo es →f . Si escribimos f(X) = AX + b, entonces f es un movimiento rígido si y sólo si A ∈ O(n).
     • Expansión y contracción horizontal: g(x)=f(k·x)
       • En este caso multiplicamos la coordenada x de la función f(x) por una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). Se trata de sustituir todas las apariciones de x en la función original f(x) por k·x: •Si k>1, la función contrae en el eje x •Si 0<k<1, se dilata (se expande) en el eje x
         • Puedes contraer o expandir una función en el eje x multiplicando todas las apariciones de x por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original. La función azul es la función original contraída y la función verde es la función original dilatada.
     • Expansión y contracción vertical: g(x)=k·f(x)
       • Cuando multiplicas la coordenada y de la función original f(x) por una constante k: •Si k>1, la función se dilata (se expande) en el eje y •Si 0<k<1, la función se contrae en el eje y
         • Puedes expandir o contraer una función en el eje y multiplicándola por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original La función azul es la función original dilatada y la función verde es la función original contraída.
           • Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión vertical. Posteriormente extendemos o contraemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.
     • Reflexión horizontal: g(x)=f(-x)
       • La reflexión horizontal ocurre cuando sustituimos cualquier aparición de x de una función f(x) de la que conocemos la gráfica por -x. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje y.
         • Dada una función, en rojo, su simétrica respecto al eje y, en azul, se obtiene cambiando x por -x en la expresión analítica de la original.
     • Reflexión vertical: g(x)=-f(x)
       • La reflexión vertical ocurre cuando cambiamos el signo al eje y de una función f(x) o, dicho de otro modo, cuando lo multiplicamos por -1. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje x.
         • Multiplicar una función por -1 es equivalente a cambiar el signo de todas sus imágenes (valores de y). Así, la función en azul es la simétrica de la función original en rojo, respecto al eje de abscisas.
     • Traslación horizontal: g(x) = f(x+k) ; g(x) = f(x-k)
       • En este caso estamos sumando (o restando) a la coordenada x de la función f(x) una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje horizontal (eje de abcisas) de la función original, quedando igual en el eje vertical (eje de ordenadas).
         • Desplazamiento horizontal Si sumas una constante k a la variable independiente x de una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia la izquierda de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia la derecha k unidades (gráfica en verde).
           • Debes evitar la tentación de desplazar hacia la izquierda cuando veas f(x-k) o a la derecha cuando veas f(x+k). El desplazamiento se produce en el sentido contrario al del signo que acompaña a k.
     • Traslación vertical: g(x) = f(x)+k ; g(x) = f(x)-k
       • En este caso estamos sumando (o restando) una constante k a la coordenada y de la función f(x) para así obtener la nueva coordenada y de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje vertical (eje de ordenadas) de la función original, quedando igual en el eje horizontal (eje de abcisas).
         • Si sumas una constante k a una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia arriba de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia abajo k unidades (gráfica en verde).
     • En resumen:

Images and files in the map