MATRIZES

MATRIZES

1. É uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical). A função das matrizes é relacionar dados numéricos.

   • TIPOS DE MATRIZES
     • Matriz Quadrada: É aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas m=n
       • DETERMINANTES
         • Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, ou seja, é uma função que transforma uma matriz quadrada em um número real
           • Formas de calcular um determinante
             • Matrizes de ordem 1
               • O Determinante de uma Matriz 1x1, nada mais é do que o elemento que compõe essa matriz
             • Matrizes de ordem 2
               • Soma dos Produtos das Diagonais
                 • O Determinante de uma Matriz 2x2 é calculado, multiplicando os elementos da diagonal primária e secundária, e depois a subtração do resultado da primaria pela secundária.
             • Matrizes de ordem 4 a superior
               • Laplace
                 • O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4. Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827). O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos. Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:
                   • Passo 1: Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples.
                     • Passo II: Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
             • Matriz de ordem 3
               • Método de Sarrus
                 • O determinante de ordem 3 é calculado utilizando a regra de Sarrus, que consiste em quatro passos:
                   • Passo 1 – Repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz.
                     • Passo 2 – Multiplicar os elementos da diagonal principal e de suas paralelas que contêm três elementos.
                       • Passo 3 – Multiplicar todos os elementos da diagonal secundária e de suas paralelas que contêm três elementos.
                         • Passo 4 – Somar todos os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal principal e subtrair os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal secundária.
     • Matriz Nula: É aquela em que todos os seus elementos são nulos.
     • Matriz Identidade: É uma matriz quadrada em que aij = ( 1; se i = j 0; se i ≠ j).
     • Matriz Linha: É aquela que possui uma única linha.
     • Matriz Coluna: É aquela que possui uma única coluna.
     • Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde os elementos que não estão na diagonal principal são todos nulos.
     • Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos que estão abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero.
     • Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos que estão acima da diagonal principal são todos iguais a zero.
     • Matriz Simétrica: É aquela em que m = n e aij = aji .
     • Matriz Transposta: Dada uma matriz A = [aij ]mxn Denomina-se Transposta de A e indica-se por A' ou At a matriz nxm que se obtém trocando as linhas pelas colunas.
     • Matriz Inversa: Seja a matriz Anxn, quadrada, ou seja, mesma quantidade de linhas e colunas, a matriz inversa para A é dada por A-¹nxn, tal que: Anxn . A-¹nxn = A-¹nxn . Anxn = Inxn Onde Inxn é uma matriz identidade de ordem n, também quadrada.
     • Matriz Adjunta: Em álgebra linear uma matriz adjunta de uma matriz quadrada é a transposta de sua matriz dos cofatores.
       • Cofatores: O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como: Aij = (-1)^ i + j . Dij
         • Onde: Aij: cofator de um elemento aij i: linha onde se encontra o elemento j: coluna onde se encontra o elemento Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

2. Operações com Matrizes

   • Obtendo duas matrizes, A e B podemos realizar OPERAÇÕES com essas matrizes.
     • ADIÇÃO
       • As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.
         • Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.
     • SUBTRAÇÃO
       • As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
         • Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.
     • MULTIPLICAÇÃO
       • A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n. Exemplo: A4x3 . B3x2
         • Nesse modelo de multiplicação, os métodos são mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes.
           • A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe um modelo padrão de multiplicação:

3. Matriz associada a um sistema linear

   • Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares.
     • SISTEMAS LINEARES
       • Solução de Sistemas Lineares
         • Para sabermos se um sistema possui solução, basta calcularmos o determinante da matriz associada ao sistema, assim:
           • SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinante for diferente de zero;
             • POSSÍVEL
               • DETERMINADO
                 • Um sistema Possível Determinado (SPD) é um sistema que possue apenas uma solução.
               • Indeterminado
                 • Um Sistema Possível Indeterminado (SPI) é um sistema que possui infinitas soluções.
             • SPI (Sistema Possível e Indeterminado) se o determinante for igual a zero;
           • SI (Sistema Impossível) se o determinante principal for igual a zero e o determinante secundário for diferente de zero.
             • IMPOSSIVEL
               • Um sistema impossível (SI) não possue soluções.
       • RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
         • Sistemas com Duas Incógnitas e Linhas
           • Método da Substituição
             • Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação. Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.
           • MÉTODO DA ADIÇÃO
             • No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários. Caso uma das incógnitas não possuir um sinal oposto ao da segunda equação, pode multiplicar uma das linhas por qualquer número real não nulo e depois somar.
         • Sistemas com três ou mais Incógnitas e linhas
           • Regra de Cramer
             • A Regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e determinados). Tem os seguintes passos:
               • Para calcular o determinante principal, formamos uma matriz com os coeficientes das variáveis;
                 • • Para calcular os determinantes secundários, substituímos as colunas das variáveis pela coluna do termo independente;
                     • • Depois usamos a fórmula:
           • Escalonamento de Sistemas Lineares
             • Escalonar um sistema é uma forma de resolvê-lo transformando o sistema em outro equivalente que possua uma resolução mais fácil. Os passos para escalonar um sistema são:
               • Para fazermos o escalonamento devemos transformar o sistema em uma matriz. Assim, pegamos os valores dos coeficientes e do termo independente após a igualdade.
                 • • Com a matriz montada, o primeiro passo é fazer uma operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) que anula pelo menos um elemento da matriz. Ao analisar a matriz, percebe-se que se subtrairmos a linha 2 com a linha 1, anulamos um elemento. O resultado dessa subtração é colocado na linha 2, como mostra L’2 do lado direito da matriz:
                     • • Próximo passo, anulamos mais um elemento subtraindo a linha 3 pelo dobro da linha 1, colocando o resultado na linha 3:
                         • • Agora, se somarmos a linha 2 com a linha 3, anulamos mais um elemento:
                             • • A diagonal principal não pode ser nula, então temos que transformar o número 2 em 1, para isso basta dividirmos a linha 3 por 2:
                                 • • Neste passo já temos a forma escalonada, aqui já é possível encontrar os valores das variáveis x, y e z. Fazendo a substituição nas equações do sistema, pois já sabemos que a variável z é igual a 1.
                                     • • Se preferir poderíamos deixar esse sistema na forma forma escada, era so continuar com as operações entre as linhas e encontrar o seguinte formato na matriz:
         • Teorema
           • Considere um sistema com m equações e n incógnitas.
             • i) Este admite solução se, se somente se, o posto da matriz ampliada Pa, reduzida á forma escada, for igual ao posto da matriz dos coe cientes Pc .
               • POSTO DA MATRIZ: O Posto de uma matriz é a quantidade de linhas nao nulas da matriz
             • ii) Se, além disso, P = n, a solução seria única (SPD).
             • iii) Se P < n, o sistema admite in finitas soluções (SPI ).
             • iv) Se o posto da matriz ampliada for diferente Pa for diferente do posto da matriz dos coe cientes Pc , o sistema seria impossível (SI ).
   • Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz.
     • Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema.
     • Matriz Ampliada: formada pelos coeficientes do sistema mais os temos independentes.
   • Equação matricial dos sistemas lineares
     • A equação matricial de um sistema linear é formada pelos coeficientes das equações, pelas variáveis e pelos termos independentes após a igualdade.

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