TEOREMA DE BEZOUT

TEOREMA DE BEZOUT

1. MCD de dos números cualesquiera podemos escribirlo como combinación lineal de esos números multiplicados por unos coeficientes que vamos a calcular haciendo uso del algoritmo de Euclides.

   • MCD
     • Al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor número solo tendremos en cuenta los divisores positivos.
       • Existen varios métodos pero 2 principales para hallar el MCD
         • MCD por Divisiones sucesivas
         • MCD por descomposición en factores primos
       • Dos maneras para que sea utilizado en MCD son
         • MCD para simplificar fracciones: Una de las utilidades que tiene el máximo común divisor es simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción 12/18, se calcula primero el Máximo Común Divisor de 12 y 18 que es 6.
         • MCD para calcular el mínimo común múltiplo (mcm): El máximo común divisor también se puede utilizar para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, su mcm. Esto es porque el producto del máximo común divisor de dos números por el mínimo común múltiplo (de los mismos números) es igual al producto de esos dos números.
           • Características del MCD
             • EL MCD se puede estructurar como una operación en Z de este modo a cualquier par de enteros.
               • Como podemos observar, debemos dividir hasta que el residuo sea 0 y el último divisor será el MCD. Máximo Común Divisor. el máximo común divisor representa el número más grande por el cual se pueden dividir dos o más números. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD.
             • Para cualquier par de enteros (a,b) existe un entero no negativo d que es su máximo común divisor. Esto es a*b = (a,b) = d
               • El máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide... d es divisor común de los números a y b; d es divisible por cualquier otro...
             • El MCD goza de la propiedad asociativa, como de la propiedad conmutativa.
               • El máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias con base común al menor exponente. ... El máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias con base común al menor exponente
             • El mcd posee un elemento identidad, el cero, de modo tal que (a, 0)= (0,a)= a En tal caso, diremos que a es un divisor de b. Demostramos a... común divisor de dos números es distinto de cero es porque excluimos el caso trivial en que... tendríamos 0 ≤ r − b = a − (q + 1)b, luego r − b serıa un elemento de S menor que r, lo ... Dados números enteros no nulos a1,a2,b, se tiene que mcd(a1a2,b)=1.
               • Propiedades del MCD
                 • 1. Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor. Ejemplo. Los divisores comunes de 54 y 90 Calculemos el mcd MCD ( 54, 90) = 18 Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serian 1, 2, 3, 6, 9, 18.
                 • 2. Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su mcd también queda multiplicado o dividido por el mismo número. Ejemplo. El mcd (54, 90) = 18 SI multiplicamos los dos números por 3 queda. 3 por 54 = 162 3 por 90= 270 El mcd de 162 y 270 es El mcd (162, 270) = 54 = 3 18
                 • 3. Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su mcd los cocientes resultantes son primos entre si y su mcd es 1. Ejemplo. El mcd (54, 90) = 18 SI dividimos los dos números entre 18 queda. 54 entre 18= 3 90 entre 18= 5 El mcd de 3 y 5 es 1.
                 • 4. Si un número es divisor de otro, entonces este es el mcd de los dos. Ejemplo. El numero 12 es divisor de 36 Calculemos el mcd de 12 y 36 mcd (12, 36 ) = 12
                 • Otros temas
                   • El teorema de Gauss
                     • Nos dice que las posibles raíces de un polinomio se obtienen mediante el cociente entre los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado).
                   • Una fracción irreducible
                     • Es una fracción que no se puede simplificar (reducir), es decir, que el numerador y el denominador no comparte factores en común (otro que la unidad). Una fracción está escrita en su mínima expresión (es una fracción irreducible) cuando no existe otra fracción equivalente que se pueda escribir en términos más sencillos
                   • Mínimo Común Múltiplo
                     • De dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
                       • Relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
                         • Observamos que los conceptos de múltiplo y divisor son análogos, gracias a ello existe una relación entre mcd y el mcm. Tenemos como ejemplo los números 4 y 6; mcd (4, 6) = 2 y mcm (4, 6) = 12. Si multiplicamos el mcd por el mcm se obtiene como resultado precisamente el producto de los números en cuestión. 4×6=24 ???×???=24 2×12=24