Integrales en espacios vectoriales

Integrales en espacios vectoriales

1. Integrales de superficie

   • La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
     • Integral de superficie en un campo vectorial.
       • Procedimiento (Paso a Paso)
       • Enlace con ejemplos: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/surface-integrals-articles/a/surface-integrals

2. Teorema de Stokes

   • El Teorema de Stokes establece la relación que existe entre una integral de linea con una integral de superficie. Además, este teorema generaliza varios teoremas del cálculo vectorial.
     • Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819–1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson
       • Ejemplo

3. Integrales de Linea

   • En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
     • Ejemplo (Paso a Paso)
     • Enlace para ampliar conocimientos: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals/v/line-integral-example-1
   • La integral de línea de un gradiente no depende del camino, sólo del punto inicial y final. Si sabemos que un campo es un gradiente, su integral es inmediata. Además, si c(a)= c(b) , la curva descrita por c es cerrada e H c ∇U· ds=0 : la integral de línea de un gradiente sobre una curva cerrada e

4. Teorema de divergencia.

   • También conocido como el teorema de Gauss, el teorema de la divergencia es una herramienta para pasar de integrales de superficie a integrales triples.
     • En Cálculo Vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
       • Enlace para ampliar conocimientos: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/surface-integrals-articles/a/surface-integrals
     • Ejemplo (Paso a Paso)

5. Teorema de Green

   • El teorema de Green relaciona la integral de lınea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.
     • Enlaces para ampliar conocimientos: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/greens-theorem-articles/a/greens-theorem-examples
   • Este tipo de teoremas resulta muy util porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva.
     • Ejemplo (Paso a Paso)

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