Cálculo Matemático

Cálculo Matemático

1. Clasificación de las funciones según cantidad de variables

   • Una Variable
     • Una función y=f(x) es continua en un punto x=cuando existe el limite de la función en el punto x=c y el limite es f(c)
       • Integrable en un punto o derivable según su continuidad o monotonía
         • Integrable
           • Una función es derivable en un punto si y solo si existen las derivadas laterales en ese punto y sus valores coinciden
         • Derivable
           • Se clasifica según su Continuidad y Monotonía
             • Continuidad
               • Si una función es continua en un intervalo cerrado salvo en un número finito de puntos de discontinuidad y es acotada en ese intervalo, entonces podemos decir que es integrable en el
             • Monotonía
               • Toda función monótona en un intervalo cerrado es integrable
   • Dos Variables
     • Sea f una función de dos variables definida en una región plana, si F está acotada en R y si F es continua en R, entonces F es integrable en R
       • La Continuidad
         • Decimos que una función F de dos variables es continua en un punto (X0,Y0)SI F(X0,Y0) es igual al limite de f(x), cuando X,Y a (X0,Y0).
           • Límite
             • Una función de dos variables F(x,y) tiene limite L en un punto (X0,Y0) si la funcion tiende a L sea cual sea la dirección que tomemos al aproximarnos a (X0,Y0)
       • Si la función es continua es integrable
         • Los puntos criticos de una función de dos variables no siempre serán máximos o minimos relativo
           • Regla de la Cadena
             • Si w=f(x,y) tiene derivadas parciales continuas y x=g(t) e y=h(t) son derivables entonces se puede aplicar la regla de la cadena
   • Tres Variables
     • En una función de tres variables si existe el limite decimos que F es integrable en Q.
       • Las derivadas parciales se usan cuando la función que se quiere derivar está definida en varias variables , por ejemplo F(x,y,z=2ky+x-3yz
         • Derivadas Parciales de Orden Superior
           • Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes La derivada de orden superior comprende las derivadas a partin de la segunda derivada a mds, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometria diferencial
         • Aplicación Vectorial
           • La aplicacion vectorial entre varias variables es diferenciable en un punto X0 si se puede encontar una matriz M, llamada matriz jacobiana
             • Funciones Vectoriales
               • Sea F(t)=(x(t),y(t),z(t)) donde (x(t),y(t),z(t)) son funciones llamadas componentes de variable real del parametro t, asi se dice que F es continua, derivable e integrable si lo son (x(t),y(t),z(t))
                 • Continua
                   • Una función con valores vectoriales r(t)es continua en t=a, si y solo si sus funciones componentes f,g ny h son continuas en t
                 • Derivable
                   • Sea F(t) una función vectorial y supongamos que sus funciones f,g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces F(t) es derivable en ese valor de t
         • Vector Gradiente
           • El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo: Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga