INTEGRACION DE FUNCIONES VECTORALES

INTEGRACION DE FUNCIONES VECTORALES

1. ·

   • Integral indefinida
     • • Donde c es un vector constante arbitrario

2. Integral definida

   • Para la función vectorial f (t), se define la integral definida de la misma

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL

   • Supongamos que F (t) es una antiderivada de f (t) en el intervalo [a,b] diremos:

4. LONGITUD DE ARCO

   • Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y
   • VECTOR TANGENTE, NORMAL & BINORMAL
     • Como ya lo vimos anteriormente, al vector F ′(t) también se le llama vector tangente a la curva F (t) en t,
     • Vector tangente unitario
     • Vector Normal
     • Vector Binormal

5. CURVATURA

   • Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s.
     • Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.
   • Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como
   • Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la torsión T como

6. APLICACIONES

   • Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de Biot-Savart:
   • El integrando de esta ecuación puede descomponerse según las reglas del cálculo vectorial en la forma:
     • • donde los dos términos dan un resultado nulo. Por lo tanto se obtiene:

7. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

   • Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación.
     • Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
     • Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como f (t). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
     • Representacion Grafica
       • La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.
   • LIMITES & CONTINUIDAD
     • Limite de una funcion vectorial
       • • Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F (t) se acerca más y más al vector l . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.
     • Continuidad
       • Sea F t : A → Rn y a un punto de acumulacion de A ⊆ R. Análogamente a la definición utilizada para funciones escalares diremos que F t es continua en a sí y sólo si:
   • Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
     • Sea la función vectorial F t entonces diremos que F ′ t es la derivada de dicha función y se define mediante:
       • • Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que F t es derivable en t = a.
     • Propiedades

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