TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

   • Reflexión respecto al eje x:
     • En R2 se define una función T mediante la fórmula © « ª ¹ » º © « ª ¹ » 5 º 2 T x y x y . Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. Esto se ilustra en la figura 7.1. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2 .
       • La transformación cero
         • Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V S W por Tv 5 0 para todo v en V. Entonces T(v1 1 v2) 5 0 5 0 1 0 5 Tv1 1 Tv2 y T(av) 5 0 5 a0 5 aTv. En este caso, T se denomina la transformación cero
           • Transformación de reflexión
             • Sea T: R2 S R2 definida por © « ª ¹ » º © « ª ¹ » 5 º 2 T x y x y . Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 7.2
               • Transformación de rotación
                 • Suponga que el vector © « ª ¹ » 5 º x y v en el plano x y se rota un ángulo u (medido en grados o radianes) en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector rotado e e e © « ª ¹ » 5 º x y v . Entonces, como se ve en la figura 7.3, si r denota la longitud de v (que no cambia por la rotación), e e 5 a 5 a 5 u 1a 5 u 1a x r y r x r y r cos sen cos ( ) sen ( ) Pero r cos (u 1 a) 5 r cos u cos a 2 r sen u sen a, de manera que x9 5 x cos u 2 y sen u.
                   • Dos operadores de proyección
                     • Se define T: R3 S R3 por © « ª ª ª ¹ » º º º © « ª ª ª ¹ » º º º T 5 x y z x y 0 . Entonces T es el operador de proyección que toma un vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano x y. De manera similar, © « ª ª ª ¹ » º º º © « ª ª ¹ » º º T 5 x y z x z 0 proyecta un vector en el espacio sobre el plano x z.
                       • Operador integral
                         • Sea J: C [0, 1] S R definida por 5 µ Jf f x dx ( ) 0 1 . Para f, g P C [0, 1], como µ [ ( ) ( )] f x g x dx 1 5 0 1 µµµ µ f x dx g x dx f x dx f x dx () () y () () 1 a5a 0 1 0 1 0 1 0 1 , se ve que J es un operador lineal. Por ejemplo, J x( )5 1 4 3 . J se denomina operador integral.
                           • Una transformación que no es lineal
                             • Suponga que T: C [0, 1] S R está definida por Tf 5 f(0) 1 1. Entonces T no es lineal. Para ver esto se calcula T( f 1 g) 5 ( f 1 g) 1 1 5 f(0) 1 g(0) 1 1 Tf 1 Tg 5 [ f(0) 1 1] 1 [g(0) 1 1] 5 f(0) 1 g(0) 1 2 Esto proporciona otro ejemplo de una transformación que puede parecer lineal, pero que de hecho no lo es.
   • Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
     • Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 y P4, y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto.
       • La transformación identidad
         • Sea V un espacio vectorial y defina I: V S V por Iv 5 v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.
           • Transformación de Rn S Rm dada por la multiplicación por una matriz de m 3 n
             • Sea A una matriz de m 3 n y defina T: Rn S Rm por Tx 5 Ax. Como A(x 1 y) 5 Ax 1 Ay y A(ax) 5 aAx si x y y están en Rn , se observa que T es una transformación lineal. Entonces toda matriz A de m 3 n se puede utilizar para definir una transformación lineal de Rn en Rm. En la sección 7.3 se verá que se cumple el converso: toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.
               • Transformación de proyección ortogonal
                 • Sea H un subespacio de Rn . La trans formación de proyección ortogonal P: V S H se define por Pv 5 proyH Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Entonces de la definición 6.1.4, página 425, se tiene Pv 5 (v ? u1)u1 1 (v ? u2)u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk Como (v1 1 v2) ? u 5 v1 ? u 1 v2 ? u y (av) ? u 5 a(v ? u), se ve que P es una transformación lineal.
                   • Operador de transposición
                     • Defina T: Mmn S Mnm por T(A) 5 A^ . Como (A 1 B) ^ 5 A^ 1 B^ y (aA) ^ 5 aA^ , se ve que T, denominado operador de transposición, es una transformación lineal.
                       • Operador diferencial
                         • Suponga que D: C 1 [0, 1] S C [0, 1] se define por Df 5 f9. Para f, g P C9 [0, 1], como ( f 1 g)9 5 f9 1 g9 y (a f )9 5 a f9, puede apreciarse que D es un operador lineal. D se denomina operador diferencial.

2. Representación matricial de una transformación lineal

   • Representación matricial de una transformación de proyección
     • Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.
       • Representación matricial de una transformación cero
         • Es fácil verificar que si T es la transformación cero de Rn S Rm, entonces AT es la matriz cero de m 3 n. De igual manera, si T es la transformación identidad de Rn S Rn , entonces AT 5 In
   • Representación matricial de una transformación cero
     • Se vio en el ejemplo 7.1.8 de la página 483, que si T es la función que rota a todo vector en R2 un ángulo u, entonces © « ª ª ¹ » º º 5 u2 u u u AT cos sen sen cos . Ahora se generalizará el concepto de representación matricial a espacios arbitrarios de dimensión finita.
       • Representación matricial de una transformación de P3 en P2
         • Defina T: P3 S P2 por T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 ) 5 a1 1 a2x2 . Calcule AT y utilícela para encontrar el núcleo y la imagen de

3. Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo

   • Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
     • Núcleo e imagen de la transformación cero
       • Sea Tv 5 0 para todo v P V (T es la transformación cero). Entonces nu T 5 V e im T 5 {0}.
         • Núcleo e imagen de un operador de proyección
           • Sea T: R3 S R3 definida por © « ª ª ª ¹ » º º º © « ª ª ª ¹ » º º º T 5 x y z x y 0 .
             • Núcleo y nulidad de un operador de proyección
               • Sea H un subespacio de Rn y sea Tv 5 proyH v. Es obvio que la im T 5 H. Del teorema 6.1.7 de la página 428, se tiene que toda v P V si v 5 h 1 p 5 proyHv 1 proyH1 v. Si Tv 5 0, entonces h 5 0, lo que significa que v 5 p P H'. Así nu T 5 H', r(T) 5 dim H, y n (T) 5 dim H' 5 n 2 r(T).
                 • Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
                   • Defina T: P3 S P2 por T(p) 5 T (a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 ) 5 a0 1 a1x 1 a2x2 . Entonces si T(p) 5 0, a0 1 a1x 1 a2x2 5 0 para toda x, lo que implica que a0 5 a1 5 ca2 5 0. Así nu T 5 {p P P3: p(x) 5 a3x3 } e im T 5 P2, n (T) 5 1 y r(T) 5 3.
   • Observación 1. Observe que nu T es no vacío porque, de acuerdo con el teorema 7.2.1, T(0) 5 0, de manera que 0 P nu T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) 5 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W
     • Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vec tores en V bajo la transformación T. De hecho, si w 5 Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T. Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran utilidad.
       • Núcleo e imagen de la transformación identidad
         • Sea Tv 5 v para todo v P V (T es la transformación identidad). Entonces nu T 5 {0} e im T 5 V. Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.
           • Núcleo e imagen de un operador transpuesto
             • Sea V 5 Mmn y defina T: Mmn S Mnm por T(A) 5 A^ (vea el ejemplo 7.1.11, página 480). Si TA 5 A^ 5 0, entonces A^ es la matriz cero de n 3 m, por lo que A es la matriz cero de m 3 n. Así, nu T 5 {0} y es claro que im T 5 Mnm. Esto significa que n (T) 5 0 y r(T) 5 nm
               • Núcleo e imagen de un operador integral
                 • Sea V 5 C [0, 1] y defina J: C [0, 1] S R por 5 µ Jf f x dx ( ) 0 1 (vea el ejemplo 7.1.12, página 485). Entonces nu 5 5 ` b µ J f C f x dx P [0, 1] : ( ) 0 0 1 . Sea a un número real. Entonces la función constante f(x) 5 a para x P [0, 1]: está en C [0, 1] y µ a 5a dx 0 1 . Como esto se cumple para todo número real a, se tiene que im J 5 R. En la siguiente sección se verá que toda transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita en otro se puede representar por una matriz, lo que permitirá calcular el núcleo y la imagen de cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita encontrando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente.

4. Isomorfismos

   • Isomorfismo
     • Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es 1-1 y sobre.
   • Espacios vectoriales isomorfos
     • Los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. En este caso, se escribe V _ W. • Cualesquiera dos espacios vectoriales reales de dimensión finita con la misma dimensión son isomorfos.
       • Teorema de resumen
         • ii) Es invertible.
           • iiii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b.
             • iv) A se puede expresar como el producto de matrices elementales
               • ivii) Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
                 • i ix) n(A) 5 0
                   • i xi) La transformación lineal T de Rn en Rn definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo.
         • iii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0)
           • iiiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n.
             • iivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes
               • viii) det A Z 0.
                 • x) r(A) 5 n

5. Isometrías

   • Una transformación lineal T: Rn S Rn se denomina isometría si para cada x en Rn Tx| 5 |x|
     • Se dice que una transformación lineal T: Rn S Rn es una isometría si y sólo si la representación matricial de T es ortogon
       • Sea T: Rn S Rn una isometría. Entonces ii) Si u1, u2, . . . , un es un conjunto ortogonal, entonces Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto ortogonal. ii) T es un isomorfismo.
         • Espacios vectoriales isométricamente isomorfos Se dice que dos espacios vectoriales V y W con el mismo conjunto de escalares son isométricamente isomorfos si existe una transformación lineal T: V S W que sea tanto isometría como isomorfismo.
   • Sea T una isometría de Rn S Rn y suponga que x y y están en Rn . Entonces Tx ? Ty 5 x ?
     • Sea T: R2 S R2 una isometría. Entonces T es ii) una transformación de rotación, o bien ii) una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación.
       • Isometría Sean V y W dos espacios vectoriales reales (o complejos) con producto interno y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces T es una isometría si para todo v P V ||v||V 5 ||Tv||W