Tema: 4

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1. Funciones

   •  Llamamos FUNCIÓN a una relación entre dos variables (magnitudes que varían tomando distintos valores numéricos) tal que una de las variables, llamada variable dependiente, se modifica por causa de la variación de la otra variable, llamada variable independiente, y tal que para cada valor de la variable independiente hay un único valor de la variable dependiente, su imagen.
   • Dominio
     • El DOMINIO es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente
   • Recorrido
     • El RECORRIDO el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
   • Representación de funciones
     • Enunciado verbal
       • Una descripción de la relación con palabras
     • Tabla
       • En la que se escriben las parejas de valores numéricos relacionados
     • Fórmula algebraica
       • En la que aparece la variable dependiente igualada a una o más expresiones algebraicas en la que interviene la variable independiente
     • Gráfico cartesiano
       • Con la variable independiente representada en el eje horizontal y la dependiente en el vertical, de manera que cada punto del gráfico muestra qué valores de ambas variables están relacionadas
   • Escritura de funciones
     • Las funciones se representan habitualmente mediante una letra (f, g, A, T, …), la variable independiente mediante otra letra (x, t, d, ...) y la dependiente mediante la letra asignada a la función y entre paréntesis la que representa la variable independiente (f(x), g(x), A(d), T(t), …). Para indicar que al valor 3 de la variable independiente le corresponde el 5 de la dependiente por la función f, se escribe f(3)=5 y se lee “f de 3 es igual a 5” ó “la imagen de 3 por f es 5”
   • Propiedades
     • Creciente
       • Se dice que una función es CRECIENTE en un conjunto si cuando aumenta la variable independiente en ese conjunto también aumenta la variable dependiente o no varía: a<b significa que f(a)≤f(b). Será estrictamente creciente si f(a)<f(b)
     • Decreciente
       • Se dice que una función es DECRECIENTE en un conjunto si cuando aumenta la variable independiente en ese conjunto la variable dependiente disminuye o no varía: a<b significa que f(a)≤f(b). Será estrictamente decreciente si f(a)>f(b)
     • Constante
       • Si al aumentar la variable independiente la dependiente no varía se dice que la función es CONSTANTE.
     • Máximo y mínimo relativo
       • Un valor de la varible independiente cuya imagen es más grande que las que están cerca se llama MÁXIMO RELATIVO de la función. Un valor de la varible independiente cuya imagen es más grande que las que están cerca se llama MÍNIMO RELATIVO de la función. 
     • Máximo y mínimo absoluto
       • El valor más grande del dominio es el MÁXIMO ABSOLUTO, mientras que el más pequeño es el MÍNIMO ABSOLUTO.
   • Funciones pares e impares
     • Pares
       • En algunas funciones valores opuestos de la variable independiente tienen la misma imagen, funciones PARES o SIMÉTRICAS RESPECTO AL EJE Y, lo que significa gráficamente que el eje actúa como si fuera un espejo (si se dobla por el eje vertical las dos partes de la función coinciden. f(x)=f(-x)
     • Impares
       • Si valores opuestos de la variable independiente tienen valores opuestos de la imagen, las funciones se llaman IMPARES o SIMÉTRICAS RESPECTO AL ORIGEN, lo que significa que si se gira 180º una parte de la función respecto al origen se obtiene la otra parte de la función. f(x)=-f(-x)

2. Funciones lineales

   • La función de proporcionalidad
     • Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de una magnitud por un número, la cantidad correspondiente de la otra magnitud se multiplica por el mismo número
     • Constante de proporcionalidad
       • Dos magnitudes directamente proporcionales cumplen que al dividir una cantidad de una de ellas por la correspondiente cantidad de la otra, el valor es siempre el mismo, a este valor se le llama constante de proporcionalidad, y representa el valor de una magnitud por unidad de la otra magnitud
   • La función lineal
     • En todas ellas una variable se relaciona con otra sumando una cantidad constante a una cantidad directamente proporcional a la otra variable. Este tipo de situaciones corresponden a las funciones lineales (o afines), cuya ecuación, teniendo en cuenta lo anterior, será de la forma y=mx+n.
     • La función de proporcionalidad
       • La función de proporcionalidad es un caso particular de función lineal donde n=0. Si m=0 la función recibe el nombre de función constante pues su valor es siempre el mismo.

3. Función cuadrática

   • Una función polinómica de segundo grado, o función cuadrática es aquella que tiene por ECUACIÓN f(x)=ax2+bx+c siendo a, b y c números reales, aunque también se puede encontrar de la forma f(x)=a(x-h)2+k donde a, h y k son números reales.
   • Parábola
     • La GRÁFICA de las funciones polinómicas de segundo grado es una curva llamada parábola cuyo eje es vertical. La parábola se obtiene del corte de un cono por un plano paralelo a la generatriz del mismo. 
     • Partes
       • Todos los puntos de la parábola están a la misma distancia de un punto llamado foco y de una recta que se llama directriz. La parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco, dicha recta es el eje de simetría. El vértice de la parábola es el punto de la misma que se encuentra sobre el eje de simetría y es el máximo o mínimo de la función. Para representar una parábola es necesario localizar el vértice. Con un punto más se puede establecer aproximadamente su amplitud y por simetría representar el resto
   • EL CASO y=ax2
     • - El eje OY es su eje de simetría - El punto (0,0) es el vértice de la parábola y el único punto de corte con los ejes. - El signo de a determina la concavidad de la gráfica.  • Si a>0, se abre hacia arriba (es convexa) y el vértice es un mínimo.  • Si a<0, se abre hacia abajo (es cóncava) y el vértice es un máximo.
   • TRASLACIÓN VERTICAL f(x)=ax2+k
     • Si a la función f(x)=a·x2 se le suma un número k, el valor de la ordenada se ve aumentado en k, lo que significa una traslación se la parábola en vertical (sube si k es positivo y baja si es negativo). Así, ese tipo de parábolas cumplen: - El eje OY es su eje de simetría; - El punto (0,k) es el vértice de la parábola y el único punto de corte con el eje OY; puede tener dos puntos de corte o ninguno con el eje OX, depende de la concavidad.- El signo de a determina la concavidad de la gráfica.
   • TRASLACIÓN HORIZONTAL f(x)=a(x-h)2
     • Al restar un número h a la variable independiente, la ordenada de h es la misma que la del cero en la función original, lo que significa una traslación de la parábola en horizontal (a la derecha si k es positivo y a la izquierda si es negativo). Así, ese tipo de parábolas cumplen:  - La recta x=h es su eje de simetría; - El punto (h,0) es el vértice de la parábola y el único punto de corte con el eje OX; - - El signo de a determina la concavidad de la gráfica.
   • TRASLACIÓN OBLICUA f(x)=a(x-h)2+k
     • Si se combinan una traslación horizontal y otra vertical se obtiene una oblicua. Así, cualquier parábola se puede obtener como traslación de la parábola f(x)=ax2, y sus características son:  La recta x=h es su eje de simetría;  - El punto (h,k) es el vértice de la parábola;  - El signo de a determina la concavidad de la gráfica. - Puede tener dos puntos de corte con el eje OX o ninguno según la concavidad.

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