Límites y Continuidad

Límites y Continuidad

1. Formalmente: Se dice que la función f(x) tiende a L cuando x tiende a ?_0 si y sólo si para todo ?>0 existe ?>0, que depende de ?, tales que: |?(?)−?|<? ?? 0<|?−?_0 |<?

2. Propiedades

   • Si el límite de una función existe entonces es único
   • El límite de f(x) cuando x tiende a ? existe si y solo si los límites unilaterales de f(x) cuando x tiende a ? existen y son iguales
   • Supóngase que f(x) →L cuando ?→?_(0 )y que g(u)→M cuando ?→? entonces (?∘ ?)(?)→? cuando ?→?_(0 )
   • Supóngase que f(x) ≤ g(x) para todos los valores suficientemente cercanos a ?_(0,) si f(x)→L y g(x)→? cuando x tiende a ?_0 entonces ?≤?
   • Dadas tres funciones f(x), g(x) y h(x) tales que g(x) ≤ℎ(x) ≤ f(x)para todos los valores suficientemente cercanos a ?_(0,) si f(x)→L y g(x)→? entonces lim┬(?→?_0 )⁡〖ℎ(?)=?〗

3. Leyes

   • Propiedad de sustitución directa: Si f es una función polinomial o racional y a esta en el dominio de f, entonces
   • Ley de la Suma
   • Ley de la Resta
   • Ley de Múltiplo Constante
   • Ley del Producto
   • Ley del Cociente
   • Ley de Potencia
   • Ley de Raiz

4. Definiciones Importantes

   • Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga a, excepto, posiblemente, en el número a mismo. Cuando x tiende a a, f(x) crece sin límite.
   • Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga a, excepto, posiblemente, en el número a mismo. Cuando x tiende a a, f(x) decrece sin límite.
   • Se dice que la recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos unos de los enunciados siguientes es verdadero: