CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

1. Funções

   • Função afim
     • Conhecida como função do 1º grau
     • Função f: R → R
       • Definida como f(x)= ax+b, sendo a e b como números reais
         • Ex.: f)x) = x + 5, g(x) = 3√3x-8, e h(x) = 1/2x
         • Numero "a" é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação
         • Numero "b" é chamado de termo constante
   • Função quadrática
     • Conhecida como função polinomial de 2º grau
     • Função f: R → R
       • Representada pela expressão f(x) = ax² + bx + c
         • Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0
   • Função exponencial e logarítimica
     • Função f: R → R
       • Representada pela expressão f(x) = a²
         • Onde é uma constante positiva e x é o expoente váriavel
   • Função logarítmica
     • Função f: R → R
       • Representada pela expressão f(x) = logₐx
         • Onde a é uma constante positiva e a ≠ 1
         • Se a>0 e a ≠ 1, logo é uma função logarítmica é inversa da função exponencial, de acordo com a definição de logaritmos, temos que logₐx = y ↔ aʸ = x

2. Limites

   • Conceito de limite e suas propriedades
     • Uma função f tem limite L quando x tende para a, desde que possamos fazer o valor de f(x) tão próximo quanto queiramos de L, tomando x suficientemente próximo de a (mas não igual a a).
   • Limites envolvendo o infinito
     • São aqueles em que a variável da função tende ao infinito. E representamos de duas formas:
       • Para quando ? tende a “mais” infinito lim x→+∞ f(x)=L
       • Quando ? tende a “menos” infinito. limx→−∞f(x)=L

3. Derivadas

   • Derivada das funções
     • Dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva.
   • Regras de resolução das derivadas
     • Pode ser feito de duas formas: utilizando a definição de derivada, que envolve um limite que tende a uma indefinição, ou utilizando regras de derivação, cujo funcionamento é garantido pela análise matemática.
       • Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:
         • 1) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.
         • 2) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.
         • 3) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ' (x) = a·xa – 1.
         • 4) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).
         • 5) [af (x)]' = a·f ' (x).
         • 6) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).
         • 7) (regra do quociente):
   • Derivadas parciais
     • As derivadas parciais são derivadas para funções de duas variáveis. Para isso, vamos derivar uma variável por vez, porém utilizando as mesmas condições báscias de derivação para uma variável. Considerando a função z=f(x,y) , vamos derivar uma variável por vez, enquanto a outra se manterá fixa. Assim, se derivamos a função em relação a x, manteremos y constante:
     • Da mesma maneira, se derivamos a função em y, x se manterá constante. Podemos representar a derivada parcial através da seguinte notação:

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