LIMITES DE FUNCIONES

LIMITES DE FUNCIONES

1. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le asigna un único valor de la segunda.

   • Si A y B son dos conjuntos, que llamaremos conjunto inicial y conjunto final, respectivamente, una función, f, de A en B, f: A →B,relaciona cada elemento de A con un único elemento de B. Si a A está relacionado con b B se escribe f(a) = b y se dice que b es la imagen de a.
     • Se llama dominio de una función f, y se representa por Dom(f), al conjunto formado por los elementos de A que tienen imagen: Dom(f) = {x A / f(x)  B}
     • Un elemento cualquiera del conjunto Dom(f) se representa por la letra x y se denomina variable independiente. Cada elemento x de Dom(f) tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de B que se representa por y, que es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).
     • Si en una función el conjunto inicial y conjunto final están formados por números reales, entonces se dice que es una función real de variable real, f: R→R f: D c R→R x→y=f(x)

2. GRAFICA: Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función. Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos

   • Cada par de números corresponde la un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.
     • b = f(la)
   • FUNCIONES ELEMENTALES
     • 1. Funciones polinómicas: Tienen por expresión algebraica un polinomio, es decir: f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
       • El dominio de cualquier función polinómica siempre es R, Dom(f) = R Dentro de las función polinómicas tienen especial importancia las funciones lineais y las funciones cuadráticas.
     • 1.1 Función lineal: Tiene por expresión y = f(x) = mx + n, (en sentido estrico, cuando n  0, se llamaría función afín)
       • • Su gráfica es una recta, que por el origen si n es 0 • m es la pendiente de la recta, tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas.
     • 1.2 Función cuadrática: Tiene por expresión un polinomio de segundo grado, y = f(x) = ax2 + bx + c
       • • Su gráfica es una parábola con eje de simetría paralelo al eje OY • Si a>0,la parábola es convexa • Vértice será el punto V(Vx, Vy), con Vx = -b/2a ,y para calcular Vy se sustitue Vx en la expresión de la función
         • Ejemplo: y = x2 – 2x -3
     • 2. Funciones racionales: Su expresión alxébrica es el cociente de dos polinomios P(x) y = f(x) = Q(x)
       • El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto los que anulan el denominador: Dom(f) = R – {x / Q(x) = 0} Un caso particular de estas funciones son las funciones de proporcionalidade inversa, y=k/x, cuya gráfica son hipérbolas equiláteras
     • 3. Funciones irracionais: La expresión es y = f(x) = RAIZ DE g(x)
       • El dominio será: Dom(f) = R en caso de que n sea impar Dom(f) = R – {x / g(x) < 0} en caso de que n sea par
     • 4. Función expoñencial: La expresión es y = f(x) = a x, donde a es positivo y distinto de 1
       • Dom(f) = R Im(f) = R+, (las imágenes son siempre positivas) Se a >1 la función crece la medida que aumenta x Se a <1 la función decrece la medida que aumenta x
     • 5. Función logarítmica:La expresión es y = f(x) = loga x, donde a es positivo y  1
       • Sea 1 > es creciente - Si la 1< es decreciente Corta al eje X en el punto (1,0) - La función logarítmica de base a es la función inversa de la exponencial de base a
   • FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
     • Función seno: y = f(x) = sen x Función coseno: y = f(x) = cos x Función tangente: y = f(x) = tg x
       • El dominio de las funciones seno y coseno es R

3. Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bernard Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

   • La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

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