Teorema De Green

Teorema De Green

1. la relación entre ciertos tipos de integrales de línea (en caminos cerrados) y las integrales dobles. Comencemos con una curva cerrada simple ( recuerde que esto significa que no se cruza a sí misma) C y deja D Sea la región encerrada por la curva. Aquí hay un bosquejo de tal curva y región.

   • Primero, observe que debido a que la curva es simple y cerrada, no hay agujeros en la región. D . Observe también que se ha puesto una dirección en la curva. Usaremos la convención aquí de que la curva C tiene una orientación positiva si se traza en sentido antihorario. Otra forma de pensar en una orientación positiva (que cubrirá curvas mucho más generales como se verá más adelante) es que a medida que recorremos el camino siguiendo la orientación positiva, la región D debe estar siempre a la izquierda. Dadas curvas/regiones como esta, tenemos el siguiente teorema.
     • Cuando se trabaja con una integral de línea en la que el camino satisface la condición del teorema de Green, a menudo denotaremos la integral de línea como,
       • Ambas notaciones asumen que C satisface las condiciones del teorema de Green, así que tenga cuidado al usarlos. Además, a veces la curva C no se considera como una curva separada, sino como el límite de alguna región D y en estos casos se puede ver C denotado como ∂ D .
         • Entonces, el teorema de Green, como se indicó, no funcionará en regiones que tienen agujeros. Sin embargo, muchas regiones tienen agujeros. Entonces, veamos cómo podemos lidiar con ese tipo de regiones. Comencemos con la siguiente región. Aunque esta región no tiene agujeros, los argumentos por los que vamos a pasar serán similares a los que necesitaríamos para las regiones con agujeros, excepto que será un poco más fácil de manejar y anote.
           • La región D estarán D 1 ∪ D 2 y recuerda que el símbolo ∪ se llama unión y significa que D consta de ambos D 1 y D 2 . el límite de D 1 es C 1 ∪ C 3 mientras que el límite de D 2 es C 2 ∪ ( − C 3 ) y observe que ambos límites están orientados positivamente. A medida que atravesamos cada límite, la región correspondiente siempre está a la izquierda. Finalmente, también tenga en cuenta que podemos pensar en todo el límite, C , como,
           • • • • • Entonces, ¿qué aprendimos de esto? Si lo piensas, fue mucho trabajo y todo lo que obtuvimos fue el resultado del teorema de Green, que ya sabíamos que era cierto. Lo que este ejercicio nos ha mostrado es que si dividimos una región como hicimos anteriormente, entonces la porción de la integral de línea en las partes de la curva que están en el medio de la región (cada una de las cuales está en la dirección opuesta) será cancelar. Esta idea nos ayudará a tratar con regiones que tienen agujeros. Para ver esto echemos un vistazo a un anillo.
                     • • Observe que ambas curvas están orientadas positivamente ya que la región D está en el lado izquierdo a medida que recorremos la curva en la dirección indicada. Nótese también que la curva C 2 parece violar la definición original de orientación positiva. Originalmente dijimos que una curva tenía una orientación positiva si se recorría en sentido antihorario. Sin embargo, esto fue solo para regiones que no tienen agujeros. Para el límite del agujero, esta definición no funcionará y debemos recurrir a la segunda definición que dimos anteriormente. Ahora, dado que esta región tiene un agujero, aparentemente no podremos usar el teorema de Green en ninguna línea integral con la curva. C = C 1 ∪ C 2 . Sin embargo, si cortamos el disco por la mitad y renombramos todas las distintas partes de las curvas, obtenemos el siguiente boceto.
                         • • El límite de la parte superior ( D 1 )del disco es C 1 ∪ C 2 ∪ C 5 ∪ C 6 y el límite en la parte inferior ( D 2 )del disco es C 3 ∪ C 4 ∪ ( − C 5 ) ∪ ( − C 6 ) . También observe que podemos usar el Teorema de Green en cada una de estas nuevas regiones ya que no tienen agujeros. Esto significa que podemos hacer lo siguiente,
                             • • Ahora, podemos dividir las integrales de línea en integrales de línea en cada parte del límite. Recuerde también del trabajo anterior que los límites que tienen la misma curva, pero en dirección opuesta se cancelarán. Hacer esto da,
                                 • • Pero en este punto podemos volver a sumar las integrales de línea de la siguiente manera,
                                     • • El resultado final de todo esto es que podríamos haber usado el teorema de Green en el disco desde el principio, aunque tiene un agujero. Esto será cierto en general para las regiones que tienen agujeros.
                                         • Cerraremos con una interesante aplicación del teorema de Green. Recuerda que podemos determinar el área de una región D con la siguiente integral doble.
                                           • • Pensemos en esta integral doble como el resultado de usar el Teorema de Green. En otras palabras, supongamos que
                                               • • y ver si podemos obtener algunas funciones PAGS y q que satisfará esto. Hay muchas funciones que satisfarán esto. Estas son algunas de las funciones más comunes.
                                                   • • Entonces, si usamos el teorema de Green a la inversa, vemos que el área de la región D también se puede calcular evaluando cualquiera de las siguientes integrales de línea.
                                                       • • dónde C es el límite de la región D .

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