TEMA 5. FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

TEMA 5. FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

1. 1. FUNCIONES

   • Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y
   • A cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.
     • La variable independiente, x, debe su nombre a que puede tomar diferentes valores
     • La variable dependiente, y, se denomina así porque su valor depende del valor que tome x.
   • FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
     • Con un enunciado
       • "Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €"
     • Con una expresión algebraica
       • y = 20x.
     • Con una tabla de valores
     • Con una gráfica

2. 2. DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS

   • DOMINIO
     • Es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).
   • RECORRIDO
     • Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
   • PUNTOS DE CORTE
     • Con el eje X
       • Variable dependiente Y = 0
     • Con el eje Y
       • Variable independiente X = 0

3. 3. SIGNO DE UNA FUNCIÓN

   • POSITIVO
     • Su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.
   • NEGATIVO
     • Su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.
   • NULO
     • Su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.
   • Una función puede tener simultáneamente intervalos donde sea positiva, negativa y nula.

4. 4. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN

   • SIMETRIA
     • Una función, f (x), es simétrica respecto del eje Y, cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (–x) = f (x).
     • Una función, f (x), es simétrica respecto del origen de coordenadas cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (– x) = – f (x).
   • PERIODICIDAD
     • Una función es periódica de periodo T cuando en todos los puntos del dominio de la función se verifica que f (x + T) = f (x).

5. 5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

   • CRECIENTE
     • Una función, f (x), es creciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≤ f (b).
   • DECRECIENTE
     • Una función, f (x), es decreciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≥ f (b).
   • CONSTANTE
     • Un función, f (x), es constante en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) = f (b).

6. 6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

   • EXTREMOS RELATIVOS
     • MÁXIMO RELATIVO
       • Una función, f (x), tiene un máximo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es mayor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
     • MÍNIMO RELATIVO
       • Una función, f (x), tiene un mínimo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es menor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
   • EXTREMOS ABSOLUTOS
     • MÁXIMO ABSOLUTO
       • Una función, f (x), tiene un máximo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio : f (a) > f (x)
     • MÍNIMO ASOLUTO
       • Una función, f (x), tiene un mínimo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio : f (a) < f (x)

7. 7. CONTINUIDAD

   • FUNCIÓN DISCONTINUA
     • Una función, f (x), es discontinua en un intervalo de su dominio, cuando su gráfica no puede dibujarse de un solo trazo en dicho intervalo, es decir, cuando presenta algún salto.
   • FUNCIÓN CONTINUA
     • Una función, f (x), es continua en un intervalo de su dominio, si su gráfica se puede dibujar en ese intervalo de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

8. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDAD

   • DISCONTINUIDAD EVITABLE
     • Una función tiene una discontinuidad evitable en x = a si la imagen de dicho punto no está en el trazo de la gráfica o el valor no pertenece al dominio de la función.
   • DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO FINITO
     • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = a si presenta un salto de longitud finita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.
   • DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO INFINITO
     • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = a si presenta un salto de longitud infinita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.

9. 9. ANÁLISIS, INTERPRETACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

   • 9.1 ANÁLISIS GENERAL DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
     • 1: Su dominio y recorrido.
     • 2: Los puntos de corte con los ejes.
     • 3: El signo de la función.
     • 4: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
     • 5: Los máximos y mínimos relativos.
     • 6: Los máximos y mínimos absolutos.
     • 7: Su simetría.
     • 8: Su periodicidad.
     • 9: La continuidad y los puntos y tipos de discontinuidad.
   • 9.2 INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS EN SITUACIONES REALES
     • Cuando la gráfica de una función corresponde a una situación real es posible deducir información general sobre la situación representada mediante la interpretación de la gráfica.

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