Funciones

Funciones

1. Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.

2. Formas de expresión

   • Con un enunciado Con una expresión algebraica Con una tabla de valores Con una gráfica

3. El recorrido o imagen de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).

4. El dominio de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).

5. Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

   • El punto de corte de una función, f (x), con el eje Y se caracteriza por tener su variable independiente, x, igual a cero. Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor cero, x = 0, en la expresión algebraica de la función y se opera
   • Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero. Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación:

6. el signo de una función consiste en ver en qué intervalos está su gráfica por encima o por debajo del eje X, es decir, en comprobar para qué valores de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es positiva, negativa o nula.

   • Positiva
   • negativa
   • nula

7. Simetría

   • Una función, f (x), es simétrica respecto del origen de coordenadas cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (– x) = – f (x).
     • funciones impares.
   • Una función, f (x), es simétrica respecto del eje de ordenadas, eje Y, cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (–x) = f (x).
     • funciones pares.

8. Periodicidad

   • Una función es periódica de periodo T cuando en todos los puntos del dominio de la función se verifica que f (x + T) = f (x).

9. Crecimiento y decrecimiento

   • Creciente
     • Una función, f (x), es creciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≤ f (b).
   • Decreciente
     • Una función, f (x), es decreciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≥ f (b).
   • Constante
     • Un función, f (x), es constante en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) = f (b).

10. Máximos y mínimos

    • Extremos relativos
      • mínimo relativo
        • Una función, f (x), tiene un mínimo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es menor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
      • máximo relativo
        • Una función, f (x), tiene un máximo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es mayor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
    • Extremos absolutos
      • • Una función, f (x), tiene un mínimo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio, se verifica que:
      • Una función, f (x), tiene un máximo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio, se verifica que:

11. Continuidad

    • Una función, f (x), es continua en un intervalo de su dominio, si su gráfica se puede dibujar en ese intervalo de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
    • Una función, f (x), es discontinua en un intervalo de su dominio, cuando su gráfica no puede dibujarse de un solo trazo en dicho intervalo, es decir, cuando presenta algún salto.

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