Teorema de los límites

Teorema de los límites

1. Teorema de continuidad de una función.

   • teorema 8 criterio de continuidad puntual: Una función f(x) es continua en a si
     • si f(a) existe
     • si lim donde "x" tiende "a" en f(x) existe
     • si lim donde "x" tiende "a" en f(x)=f(a) existe

2. Límites infinitos y límites en el infinito

   • límite al infinito
     • si lim f(X) =L sí y solo sí "X" tiende a "∞"
   • límite a menos infinito
     • si lim f(X) =L sí y solo sí "X" tiende a " -∞"
   • Teorema 5: límites fundamentales
     • lim 1/x=0 donde "x" tiende "∞"
   • Teorema 6: teorema del alto grado
     • comportamiento de polinomio en "∞" es en orden n
     • si polinomio real en grado n:
       • p(X):a0+a1+a2+an...
         • entonces lim an xn donde "X" tiende a "∞"

3. Límites laterales

   • Límite lateral derecho
     • lim de f(X) es L cuando "X" tiende al valor "X0" por la derecha
       • entonces lim f(X)= L donde "X" tiende a "X0+"
   • límite lateral izquierdo
     • lim de f(X) es L cuando "X" tiende al valor "X0" por la izquierda
       • entonces lim f(X)= L donde "X" tiende a "X0-"
   • Teorema 7: relación entre en límite de una función y sus límites laterales
     • si lim f(X)= L donde "x" tiende "a"
       • entonces limf(X) donde "x" tiende "a"= limf(X)=L donde "x" tiende "a"

4. Propiedades fundamentales de límites

   • Teorema 1: unicidad del límite de una función
     • límite de una función es único
     • si lim f(X)= L1 donde "x" tiende "x0" y lim f(X)= L2 donde "x" tiende "x0"
       • entonces L1=L2
     • proposición 1
       • si f(x)=c, ,c∈R entonces lim f(x)=c donde "x" tiende a "0"
     • proposición 2
       • lim x=x0 donde "x" tiende a "x0"
   • teorema 2: álgebra de límites
     • si f, g son funciones tales que limf(x)=L Y lim f(g)=M donde en ambos "x" tiende a "x0"
       • entonces: lim[f(x) +- g(x)] = L +-M donde "x" tiende a "0"
       • entonces: lim[f(x)*g(x)]=L*M donde "x" tiende a "0"
       • entonces f(x)/g(x)= L/M simpre que M≠0 donde "x" tiende a "0"
   • teorema 3: límite de una composición defunciones
     • sean f, g funciones
     • a y b ∈R, donde f(b) este definido
     • satisface lim f(x) donde "x" tiende a "b"=f(b) y lim g(x)=b donde "x" tiendde "a"
       • entonces lim f[g(x)]=f(b) donde "x" tiende "a"
   • teorema 4
     • lim f(x)=L donde "x" tiende "a"

5. teorema 7

   • si funciones g(x) y h(x) tiene límite L en "x0" y g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
     • entonces Lim f(x)= L donde "x" tiende a "x0"

6. teorema 9: composición de funciones continuas

   • si "g" es continua en "x0"
   • f es continua en g(X0)
     • entonces f°g es continua en x0

7. Larios García, R. García Sosa, R. F. & Gómez Carranza, P. (2010). Introducción al cálculo diferencial.. Instituto Politécnico Nacional. https://elibro.net/es/ereader/bibliotecauveg/72661?page=79

   • Ortiz Campos, F. J. (2015). Cálculo diferencial.. Grupo Editorial Patria. https://elibro.net/es/ereader/bibliotecauveg/39479?page=44
     • Ortiz Campos, F. J. & Ortiz Cerecedo, F. J. (2019). Cálculo diferencial (3a. ed.).. Grupo Editorial Patria. https://elibro.net/es/ereader/bibliotecauveg/121278?page=47
   • referencias: