Teoremas de límites y continuidad

Teoremas de límites y continuidad

1. Álgebra de límites si lím f(x) = L y lím g(x) = M

   • Constante e identidad: lím c = c ; lím x = a
   • Múltiplo constante: lím [c · f(x)] = c · L
   • Suma y resta: lím [f(x) ± g(x)] = L ± M
   • Producto: lím [f(x) · g(x)] = L · M
   • Cociente: lím f(x)/g(x) = L/M, con M ≠ 0
   • Potencia y raíz: lím [f(x)]ⁿ = Lⁿ ; lím ⁿ√f(x) = ⁿ√L

2. Límites laterales y existencia del límite

   • Por la izquierda: x → a⁻ : x se acerca con valores < a
   • Por la derecha: x → a⁺ : x se acerca con valores > a
   • Existencia del límite: lím f(x) existe si los dos límites laterales existen y son iguales
   • Unicidad: Si el límite existe, es único

3. Otros teoremas y técnicas de cálculo

   • Sustitución directa: Polinomios y racionales: lím = f(a)
   • Emparedado (sándwich): g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) y lím g = lím h = L ⇒ lím f(x) = L
   • Forma indeterminada 0/0: Factorizar, racionalizar y simplificar
   • Límites al infinito: Dividir entre la mayor potencia de x
   • Límite trigonométrico: lím sen x / x = 1 (x → 0)

4. Continuidad en x = a (Las 3 condiciones)

   • Condición 1: f(a) está definida
   • Condición 2: lím f(x) existe (límites laterales iguales)
   • Condición 3: lím f(x) = f(a)

5. Tipos de discontinuidad

   • Evitable: El límite existe, pero f(a) no existe o es distinto. Se repara con f(a) = lím.
   • De salto: Límites laterales finitos y distintos
   • Infinita: Un límite lateral es ±∞ (asíntota vertical)

6. Teoremas de continuidad

   • Polinomios: Son continuos en todos los reales
   • Funciones racionales: Continuas donde el denominador ≠ 0
   • Álgebra de continuas: f ± g, c · f, f · g y f/g (g(a) ≠ 0) son continuas en a
   • Composición: g continua en a y f continua en g(a) ⇒ f ∘ g es continua en a
   • Valor intermedio: f continua en [a, b] y k entre f(a), f(b) ⇒ existe c con f(c) = k

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