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Limites y Continuidad

Andres Marin English

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Definiciones y conceptos basicos
- Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito)
  - Noción de límite de una función
    - Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a
      - si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a
        existen dos formas de aproximar x a a
        desde valores x > a (por la derecha)
        desde valores x < a (por la izquierda)
    - Continuidad De Funciones
      - puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz
        Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes
        <La función existe en a. <Existe límite de f(x) cuando x tiende a a. <El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales
        Funciones Continuas
        funciones polinómicas
        funciones racionales
        funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas
        funciones trigonométricas seno y coseno
        Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones
        se dice que la función es discontinua en el punto
- Conceptos
  - Funcion
    - se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda
      - Dominio
        es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida
      - Rango
        se refiere al codominio o a la imagen de la función, dependiendo del uso
  - Asintota
    - una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero, a medida que se extienden indefinidamente
  - Indeterminacion
    - se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo
DESARROLLO HISTÓRICO DEL TEMA Y EXPONENTES
- En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales
  - se puede dividir en tres grandes etapas
    - PERIODO CLÁSICO (EUDOXO DE CNIDO Y ARQUÍMEDES (S. V A.C)
      - Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite. Se basa en la noción de infinito potencial, la falta de un sistema de numeración adecuado y la discretización)
        se destaca
        Método de exhaución
        Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes en la cuadratura de la parábola
        Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada
    - REVOLUCIÓN CIENTÍFICA (DESDE KEPLER (S. XVI) HASTA NEWTON Y LEIBNITZ (S. XVIII))
      - Esta etapa se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos
        Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630)
        La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos
        Método de Fermat para buscar extremos de curvas
        Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε es pequeño
        El método consiste en hacer f(x+ε)=f(x), dividirlo por ε y tomar ε=0
        Newton (1648-1727)
        es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal
        Leibnitz (1646-1716)
        contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales
        La noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser una herramienta para resolver problemas
    - PASO A LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL (SEGUNDA MITAD DEL S.XVIII)
      - los matemáticos de la época obtienen solución para muchos de sus problemas
        D'Alembert (1717-1783)
        crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton
        la magnitud que se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es objetiva no se puede tener un control completo de la misma
        SIGLO XIX Y PRINCIPIOS DEL SIGLO XX. ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS
        A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático
        Weierstrass (1815-1897)
        "Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0, la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0".
Representaciones
- REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA
  - La representación simbólica del concepto de límite y de continuidad está directamente relacionada con la representación simbólica de función, lo cual se muestra en los siguientes
- REPRESENTACIÓN GRÁFICA
  - Este sistema de representación se manifiesta cuando el alumno reconoce a partir de la gráfica de la función la existencia de límite, la continuidad o el tipo de discontinuidad en un cierto punto así como las asíntotas que tenga la función
- REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
  - La representación numérica de los conceptos de límite y continuidad se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes
- REPRESENTACIÓN VERBAL
  - La representación verbal del concepto de límite y continuidad se manifiesta en la comunicación oral de resultados
INTERVENSION EN FENOMENOS COTIDIANOS
- RAMAS
  - cambios del movimiento
    - Para hallar la corriente eléctrica, la razón de cambio y otros conceptos físicos muy importantes que aplicamos en la vida cotidiana
  - biología
    - El concepto de limite es usado para realizar graficas donde se represente el crecimiento a lo largo de un tiempo a partir de 1 o varias poblaciones
  - velocidad de crecimiento
    - Aspectos de desarrollo morfologico en animales pued predecirse a partir de formulas que involucran el concepto de limite
  - economía
    - es como se elaboran gráficas para saber el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible esto para generar una mayor ganancia para la misma empresa
  - ingeniería
    - si vas a construir una obra en la que debes realizar aproximaciones con un margen de error mínimo debes usar limites
  - química
    - El concepto limite en quimica se puede observar en el reactivo limite de una reaccion
  - movimiento de los planetas
    - Las naves espaciales usan una variacion del metodo de euler para aproximar trayectorias curvas dentro de entornos de gravedad 0
- Fenomenos cotidianos
  - al hornear un pastel sabemos que todos los ingredientes tienen un limite
  - Línea real o imaginaria que marca el fin de una superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades