Tipos de funciones y funciones hiperbólicas

Tipos de funciones y funciones hiperbólicas

1. Algebraicas

   • son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica
     • siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.
       • Una función algebraica explícita
         • es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y
           • constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
         • Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución:
           • Por otro lado en las funciones implícitas
             • no es posible obtener las imágenes de x por simple sustitución,
               • por lo cual es necesario efectuar operaciones:
                 • 5x – y – 2 = 0
             • Las funciones a trozos
               • son funciones que se definen por distintos criterios
                 • según los intervalos que se consideren.
                   • Dentro de estas funciones encontraríamos lo que sería la función en valor absoluto, la función parte entera de x, la función mantisa y la función signo.
       • En las funciones racionales el criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
         • El dominio está formado por todos los números reales, a excepción de los valores de x los cuales anulan el denominador.

2. Radicales

   • Son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical.
   • La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.
   • son funciones positivas
     • Pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.
       • Las gráficas representadas sólo están definidas en un tramo de la recta real
         • En estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando.
           • Su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y decrecimiento) es bastante sencillo.
     • (Si la expresión algebraica de la función fuera entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)

3. Polinomicas

   • Es una función cuya expresión es un polinomio tal como:
     • El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.
       • Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
         • Se llama grado de una función polinómica al mayor exponente de sus términos.
         • El polinomio de la función del gráfico de arriba es de grado 3.
       • Los diferentes ai (a0, a1, …an), son números reales llamados coeficientes de un polinomio.
     • Tipos de funciones polinómicas
       • Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio:
       • Funciones constantes: son funciones polinómicas de grado 0 (pues 0 es el coeficiente de x). No dependen de la variable independiente x:
       • Funciones polinómicas de primer grado o de grado 1: son funciones que están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante.
       • Funciones afines:
         • Son funciones de primer grado que no pasan por el origen, es decir, la ordenada no es nula (n ≠ 0):
       • Funciones lineales:
         • son funciones polinómicas de grado 1 tales que la ordenada es nula (n = 0), de manera que:
       • Funciones identidad:
         • es un caso particular de funciones lineales, tal que a cada elemento x le hace corresponder éste mismo valor en f(x). Es decir, m = 1 y n = 0.
       • Funciones cuadráticas:
         • Son funciones polinómicas de grado 2, es decir, su mayor exponente es x elevado a 2 (x2):
       • Funciones cúbicas:
         • Son funciones polinómicas de grado 3. Por lo tanto, su mayor exponente es x elevado a 3 (x3):

4. Exponenciales

   • Es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a.
     • Su expresión es: F(x)=a´
       • Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1
     • Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.
     • La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.
     • Y, cuando 0 < a < 1:
   • Características
     • Dominio: Dominio de la función exponencial. El dominio son todos los números reales.
     • Recorrido: Recorrido de la función exponencial. El recorrido son todos los números reales positivos.
     • Derivada de la función exponencial: Derivada de la función exponencial. En el caso particular en el que a sea igual al número irracional e (e = 2,7182818…), a esta forma de función potencial f(x) = ex se denomina función exponencial natural
     • Todas las funciones exponenciales son continuas.
     • Todas son también cóncavas.
     • Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.
     • La función exponencial es inyectiva.
   • Propiedades
     • Todas las funciones exponenciales cumplen las siguientes propiedades:

5. Logaritmicas

   • Está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:
     • Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
   • Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.
     • La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
       • Y, cuando 0 < a < 1:
   • Características
     • Dominio:
       • Es el de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.
     • Recorrido:
       • El recorrido son todos los números reales.
     • Derivada de la función logarítmica elemental:
     • Las funciones logarítmicas son continuas.
     • Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente.
       • En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

6. Trigonométricas

   • Son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.
     • Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
       • Las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.
       • Existen seis funciones trigonométricas:
         • Seno
           • El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
           • Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus).
           • La gráfica de la función seno es:
           • La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.
         • Coseno
           • El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
             • Su abreviatura es cos (del latín cosinus).
             • La gráfica de la función coseno es:
             • La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).
         • Tangente
           • La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
             • Su abreviatura son tan o tg.
             • La gráfica de la función tangente es:
             • La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes).
         • Cosecante
           • La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1.
             • La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).
               • Su abreviatura es csc o cosec.
               • La gráfica de la función cosecante es:
               • La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).
         • Secante
           • La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1.
             • La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
               • Su abreviatura es sec.
               • La gráfica de la función secante es:
               • La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).
         • Cotangente
           • La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente
             • Por lo tanto tan α · cot α=1.
               • La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo
                 • Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).
                   • La gráfica de la función cotangente es:
           • Su abreviatura es cot, cotg o cotan.

7. Hipérbolicas

   • son unas funciones que se definen en base a la función exponencial
     • conectando mediante operaciones racionales
       • son análogas a las funciones trigonométricas
         • Estas son:
           • El seno hiperbólico
           • El coseno hiperbólico
           • La tangente hiperbólica
           • Cotangente hiperbolica
           • Secante hiperbolica
           • Cosecante hiperbolica

8. Periódicas

   • Son funciones que se comportan en una manera cíclica (repetitiva) sobre un intervalo especificado
     • En otras palabras, la gráfica completa puede ser formada de copias de una porción particular
       • Repetida en intervalos regulares indefinidamente.
       • Si f es conocida sobre un periodo entonces es conocida en todas partes.
         • Una función f es periódica si existe un número real P tal que f ( x + P ) = f ( x ) para todas las x .
   • La gráfica se repite a si misma una y otra vez así como es trazada de izquierda a derecha.

9. Pares

   • Una función es par si
     • para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ).
       • Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y

10. Impares

    • Un función es impar si
      • para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ).
        • Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen.

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