2.9 Descontos simples – aspectos conceituais

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2.9 Descontos simples – aspectos conceituais

Antes de abordarmos o desconto, vamos mostrar alguns títulos de crédito que são utilizados nas instituições financeiras e que podem ser descontados.

Títulos de Crédito

Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado título, que é o comprovante dessa operação. Observe a situação abaixo, referente a esse tipo de operação.

Figura 1 - Cliente entregando um documento ao banco

Note que, na operação acima, a portadora concorda com as regras impostas pela instituição, nesse caso, há uma promessa de pagamento, podendo ser resgatada antecipadamente.

Isso significa dizer que alguns títulos de crédito podem sofrer a operação de desconto, que consiste no resgate do título antes do vencimento. Ao fazer isso, o portador recebe por ele um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data de seu vencimento. Os títulos de crédito que podem ser descontados são:

Letra de câmbio;

Duplicata;

Nota promissória.

Vamos conhecer melhor o que significa cada um desses títulos de crédito? Você já ouviu falar de letra de câmbio?

Letra de câmbio é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Em uma letra de câmbio vêm especificados: o valor do resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), a data do vencimento do título e a quem se deve pagar. Observe o modelo de uma letra de cambio.

Figura 2 - Letra de câmbio

Note que aparecem algumas informações importantes, como nome do portador, valor nominal, data de vencimento, entre outros.

Agora, veja outro título de crédito muito utilizado pelas instituições financeiras: a duplicata. A duplicata é emitida por uma empresa (pessoa jurídica) contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para quem vendeu mercadorias ou prestou serviços a prazo. A emissão da duplicata decorre da emissão de uma nota fiscal. Veja como é feita a operacionalização:

O cliente assina a duplicata dando o aceite, ou seja, declarando-se devedor daquela quantia e obrigando-se a pagá-la na data estabelecida. Devem constar na duplicata, além do valor nominal (lembre-se de que já falamos sobre o que é valor nominal anteriormente), a data de vencimento, o nome do credor/emitente e do devedor, e o número da nota fiscal que corresponde à mercadoria vendida ou aos serviços prestados. Veja abaixo um modelo de duplicata.

Figura 3 - Duplicata

Temos também outro título, a nota promissória, que pode ser usada entre pessoas físicas ou, ainda, pessoas físicas e jurídicas e instituições financeiras. Trata-se de um título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento na qual é especificado o valor nominal ou a quantia a ser paga (que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), o nome e a assinatura do devedor, o nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. Abaixo, você tem um modelo de nota promissória.

Figura 4 - Nota promissória

Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo antes do vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede à operação de desconto. Mas ao resgatar o título antes do vencimento, o portador não recebe o valor total ali declarado. Esse valor, que é o valor final ou valor nominal N do título, sofre um desconto D que será tanto maior quanto maior for a antecipação do pagamento em relação à data de vencimento.

O valor recebido pelo portador é o valor atual do título e representa a diferença entre o valor nominal e o valor do desconto. Esse desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pelo banco pela antecipação do pagamento.

Agora que você já conhece os principais títulos de credito e já tem condições de entender e relacionar o conceito de desconto aplicado a eles, vamos ao conceito de desconto. Então, depois dessas informações, como podemos conceituar desconto? Seria um abatimento? Isso mesmo. Muito bem!

A ideia de desconto está associada ao abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder desconto no preço da unidade. No comércio, é bastante comum também o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido.

Outra situação envolvendo o conceito de desconto, já citada anteriormente, seria quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplicata (título de crédito), que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Mas, caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir ao banco e efetuar um desconto desse valor expresso na duplicata.

Com isso, a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca do dinheiro recebido antecipadamente. Muitas empresas agem dessa forma quando precisam de capital de giro, mas se lembre de que toda transação efetuada pelo banco tem um custo: este pode antecipar o pagamento de algum título de crédito, mas o cliente vai receber menos do que o valor nominal do título.

Veja mais um exemplo:

Consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Necessitando do dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Podemos concluir, então que o banco propôs um desconto de R$ 200,00.

As operações de desconto com duplicatas e promissórias são bastante comuns no sistema financeiro, sendo uma ferramenta muito usada pelas empresas.

Caro(a) estudante, imagino que você tenha percebido a importância dos títulos de crédito nas operações financeiras. Dando continuidade ao conteúdo, vamos tratar dos descontos simples.

Desconto simples

Você se lembra do que é desconto? Pois bem! Esta é mais uma oportunidade que você tem de aprender. Muito bem, vamos rever o conceito. Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito, que é um documento comprobatório de uma dívida – ou seja, através desse tipo de documento, o credor pode cobrar de um devedor.

Agora, vamos começar a entender melhor como se faz esse tipo de abatimento, como ele é calculado. Então, está pronto para mais um desafio? Vamos lá! Veja:

Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto comercial (por fora) e o desconto racional (por dentro). Vamos iniciar nossos estudos com o desconto comercial.

Desconto comercial: é conhecido também como desconto bancário. As fórmulas que vamos utilizar para o cálculo de desconto bancário são semelhantes às de juros simples.

Observe:

D = desconto

N = valor nominal

VL = valor líquido recebido após o desconto

i = taxa

n = período de tempo

VL = N - D

D = N.i.n

Como já vimos em juro simples, também encontramos a variável n para representar o período de tempo.

Temos também a fórmula para encontrar o valor líquido, observe:

VL = N.(1 – i.n)

Vamos a um exemplo prático para entender melhor como funciona o cálculo de desconto.

Exemplo 1

Suponha que o credor Marcelo Santos, de posse de uma nota promissória, deseja resgatar sua dívida, antes do prazo, ou seja, ele quer receber a dívida dois meses antes da data da nota promissória. Vamos supor que o valor nominal desse título seja de R$ 100.000,00 e a taxa de 1,4% a.m. para o desconto. Em dois meses antes do vencimento, temos:

D = ?

N = 100.000,00

i = 1,4% a.m. = 0,014

n = 2 meses

Para o cálculo de desconto também transformamos a taxa percentual (1,4%), em taxa unitária (0,014), ou seja, 1,4 dividido por 100 = 0,014. Observe que o período de tempo é equivalente à taxa. Vamos resolver o problema? Veja como é fácil.

D = N.i.n

D = 100.000,00 x 0, 014 x 2

D = 2.800,00

Marcelo Santos deverá receber, então:

N – D = VL

R$ 100.000,00 – R$ 2.800,00 = R$ 97.200,00

VL é chamada valor atual comercial, ou valor líquido do título.

Assim, podemos chamar de desconto de título o abatimento dado sobre o valor nominal pela antecipação do pagamento. O desconto bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal.

Vejamos mais um exemplo de desconto bancário (comercial).

Exemplo 2

Um título no valor de R$ 1.200,00, pago cinco meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal utilizada?

Em primeiro lugar, vamos verificar as informações.

N = 1.200,00 (valor nominal)

n = 5 meses

L = 900,00 (valor líquido)

Esta situação pode ser resolvida de duas maneiras, usando o cálculo do desconto ou a fórmula do valor líquido.

Veja:

D = N - VL

D = 1.200,00 – 900,00

D = 300,00

D = N.i.n

300 = 1.200 x 5 x i

300 = 6.000i

6.000i = 300

i = 300 : 6.000

i = 0,05 – multiplicando por 100, temos a taxa percentual.

i = 5%

Agora, vamos aplicar a fórmula do valor líquido:

VL = N.(1 – i. n)

900 = 1200 (1 – i.5)

1.200 (1-5i) = 900

1 - 5i = 900 : 1.200

1 - 5i = 0,75

5i = 1 - 0,75

5i = 0,25

i = 0,25 : 5

i = 0,05 ou 5%

Você percebeu que encontramos o mesmo resultado usando fórmulas diferentes? Na primeira utilizamos duas fórmulas, pois tínhamos que encontrar o desconto. Na segunda, utilizamos apenas uma fórmula.

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2.10 Desconto racional e desconto composto

Desconto racional

O desconto racional é também conhecido como desconto por dentro, e o seu valor é encontrado com base no valor líquido. Para calcular o desconto racional, usamos a fórmula:

Dr = L.i.n

Dr = Desconto racional

L = Valor Líquido

i = taxa

n = período (tempo)

Lembre-se:

N - L = Dr

Então, podemos calcular o valor líquido da seguinte forma:

VL = N : (1 + i.n)

Vamos resolver alguns exemplos práticos:

Exemplo 1: Calcular o desconto racional de um título de R$ 6.864,00, a uma taxa de 12 % a.m., pago 1 mês e 6 dias antes do vencimento.

Primeiro, vamos às informações que a situação nos fornece:

N = 6.864,00

i = 12% = 0,12

n = 1 mês e 6 dias = 36 dias

Lembre-se de que a taxa tem que estar na mesma unidade do período (tempo). Como a taxa está ao mês e o tempo em dias, vamos dividir 12% por 30, pois o mês comercial possui 30 dias.

Solução:

VL = N : (1+i.n) que vem da fórmula de juros simples M= C(1+ i.t ) ou N= VL (1 + i.n)

VL = 6.864 : 1 + 0,004 x 36

VL = 6.864 : 1 + 0,144

VL = 6.864 : 1,144

VL = 6.000,00

Calculando o desconto:

Dr = R$ 6.864,00 – R$ 6.000,00 = R$ 864,00

Para chegarmos diretamente ao resultado do desconto racional, podemos utilizar a fórmula:

Dr = Nin : (1 + i.n)

Vamos à sua aplicação. Veja o exemplo:

Qual o valor do desconto racional (por dentro) sofrido por uma nota promissória de R$ 4.160,00, descontada 8 meses antes do seu vencimento, à taxa de 6% a.a.? Vamos separar as informações: observe que o período (tempo) está em meses e as taxas em anos – temos que colocá-las na mesma unidade.

Dados:

N = 4.160,00

n = 8 meses

i = 6 % a.a. = 6/12 = 0,5% a.m. = 0,005

Dividimos a taxa por 12, pois o ano tem doze meses, para encontrar o valor da taxa mensal, ficando então na mesma unidade do período.

Dr = Nin : 1 + in

Dr = 4.160,00 x 0,005 x 8 : 1 + 0,05 x 8

Dr = 166,40 : 1 + 0,04

Dr = 166,40 : 1,04

Dr = 160,00

Então, temos o valor do desconto racional: R$ 160,00.

Vejamos agora uma situação que iremos aplicar os dois tipos de desconto e analisar qual seria mais vantajoso.

Um título com valor nominal de R$ 2.000,00, a uma taxa de 3% a.m., vai ser descontado oito meses antes do vencimento. Calcule a diferença entre os descontos bancário e racional.

Temos:

N = 2.000,00

i = 3% a.m. = 0,03

n= 8 meses

Então, você se lembra sobre qual valor o desconto bancário incide? Isso mesmo, parabéns! Sobre o valor nominal. Então vamos calcular o desconto bancário.

D = N.i.n

D = 2.000,00 x 0,03 x 8

D = 480,00

Fácil, não é mesmo?

Já temos o valor do desconto bancário, R$ 480,00. Agora, vamos calcular o desconto racional. Queremos saber de você: sobre que valor o desconto racional incide? Que bom, vejo que você aprendeu! O desconto racional incide sobre o valor líquido. Como nesta situação não temos o valor líquido podemos utilizar a fórmula em que pede somente o valor nominal.

Dr = NIn : 1 + in

Dr = 2.000,00 x 0,03 x 8 : 1 + 0,03 x 8

Dr = 480,00 : 1 + 0,24

Dr = 480,00 : 1,24

Dr = 387,10

Diferença entre os descontos:

R$ 480,00 – R$ 387,10 = R$ 92,90

Logo, a diferença entre os descontos bancário e racional é de R$ 92,90.

Continuando nossa aula, vamos entender melhor como seria o cálculo de desconto bancário quando temos um conjunto de títulos. Analise o exemplo abaixo.

Uma empresa apresenta três duplicatas para desconto, à taxa simples de 21% a.m., a saber: a primeira, de R$ 150.000,00 e 18 dias de prazo; a segunda, de R$ 200.000,00 e dias 30 dias de prazo; e a terceira, de R$ 60.000,00 e 50 dias de prazo. Determine o valor líquido.

Solução:

Como temos a mesma taxa de desconto pra todos os títulos, podemos, então, determinar o prazo médio no qual se desconta o somatório deles. Observe:

Figura 1 - Fluxo de caixa em relação ao tempo de cada título

Aqui temos todos os títulos e o prazo de cada um ao longo do tempo. Vamos agora ao cálculo para entender como chegamos ao valor líquido final .

Cálculo do prazo médio:

n = 150.000,00 x 18 + 200.000,00 x30 + 60.000,00 x 50 : 150.000,00 + 200.000,00 + 60.000,00

n = 28,5365837

VL = N · ( 1 – i · n ) (você, se lembra que utilizamos essa fórmula na aula anterior)

N = 150.000,00 + 200.000,00+ 60.000,00 = 410.000,00

i = 21% a.m. = 21/30 = 0,7% a.d. = 0,007 (taxa unitária)

n = 28,5365837

VL = 410.000,00 (1- 0,007 x 28,5365837)

VL = 328.100,00

Logo, o valor líquido é R$ 328.100,00

Então, não é fácil? Assim poderemos visualizar como é feito o resgate de vários títulos.

Vamos avançar mais um pouco nos conteúdos: abordaremos, agora, o desconto composto, mais um assunto estudado na matemática financeira.

Desconto composto

Você se lembra de que, ao fazermos o estudo de descontos simples, procuramos estabelecer a diferença entre o desconto bancário e o racional?

Vamos relembrar. No primeiro, as taxas incidem sobre o valor nominal, enquanto, no segundo, as taxas incidem sobre o valor líquido.

Já o desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor nominal. Agora, vamos entender como é feito o cálculo do desconto composto.

O desconto composto é sinônimo de juros compostos. Quanto ao valor do desconto ou dos juros, poderíamos calculá-lo em função do valor atual ou em função do valor nominal. A fórmula que vamos utilizar é a seguinte:

Va = N x vn

Onde v = 1 : 1 + i

Vamos agora entender a fórmula:

Va = valor atual

N = valor nominal

n = período de tempo

i = taxa a juros compostos

Logo, a fórmula utilizada para calcular o desconto composto fica assim:

Dc = N - Va

Onde:

Dc = Desconto composto

N = valor nominal

Va = valor atual

Note que alguns dados apresentados acima já são do seu conhecimento, pois estamos trabalhando o cálculo do juro simples. O cálculo de desconto composto vai usar o exponencial, então você vai precisar da sua calculadora científica, pois esse cálculo é com base nos juros compostos.

Preste atenção!

Para que você entenda melhor, vamos a um exemplo prático.

De quanto será o desconto que um título de R$ 8.000,00, à taxa de 8% a.m., sofre ao ser resgatado dois meses antes de seu vencimento?

Vamos às informações que a situação nos fornece.

N = 8.000,00

i = 8% a.m. = 0,08

t = 2 meses

Para calcular o desconto, temos que encontrar primeiro o valor atual.

Va = N · vn

Va = 8.000,00 x (1 : 1 + 0,08)2

Va = 8.000,00 x (1 : 1,08)2

Va = 8.000 x (0,925925925)2

Va = 8.000 x (0,8573388)

Va = 6.858,72

Agora, vamos encontrar o desconto:

Dc = N - Va

Dc = 8.000,00 – 6 858,72

Dc = 1.141,28

Podemos concluir que o valor do desconto composto é de R$ 1.141,28

Para calcular o exponencial, basta digitar o número – no caso acima, 0,925925925. Logo em seguida, acione a tecla yx , o valor do expoente, no caso o 2, e o sinal de igual. No visor da sua calculadora aparecerá o valor 0,8573388. Você pode se perguntar: será que tenho que digitar todos esses algarismos? Sim, é necessário, senão seu resultado ficará errado. O arredondamento é feito apenas no final da operação.

Agora, vamos aplicar os conhecimentos adquiridos resolvendo uma situação que envolva os três tipos de desconto que estudamos nas últimas aulas, possibilitando assim, verificar a diferença entre eles. Vamos lá?

Calcule três tipos de desconto possíveis para um título de R$ 9.000,00, à taxa de 5% a.m., resgatado cinco meses antes do vencimento. Vamos primeiro calcular o desconto comercial (bancário). Você se lembra da fórmula aplicada? Muito bem!

D = N . i . n

Isso mesmo!

Desconto Comercial (bancário)

N = 9.000,00

i = 5% a.m. = 0,05 n = 5 meses

Aplicando a fórmula:

D = N.i.n

D = 9.000 x 0,05 x 5

D = 2.250,00

Desconto racional: Agora, vamos utilizar os mesmos dados para efetuar o cálculo do desconto racional. Você se lembra de qual é fórmula usada para calcular o desconto racional?

Dr = N . i . r : 1 + i . r

Muito bem! Vamos aos cálculos.

Dr = 9.000,00 x 0,05 x 5 : 1+ 0,05 x 5

Dr = 2.250,00 : 1,25

Dr = 1.800,00

Desconto composto

Tenho certeza de que você já sabe, pois estamos estudando nesta aula.

Va = N · vn Dc = N – Va

Va = 9.000,00 x (1 : 1 + 0,05)5 Dc = 9.000,00 - 7.051,73

Va = 9.000,00 x (1 : 1,05)5 Dc = 1.948, 26

Va = 9.000,00 x (0,952380952)5

Va = 9.000,00 x 0,783526166

Va = 7.051,73

Então temos o desconto bancário de R$ 2.250,00, desconto racional de R$ 1.800,00 e o desconto composto de R$ 1.948,27. Você deve ter notado que o desconto bancário é o maior que existe, depois o composto e em seguida o racional, desde que seja utilizada a mesma taxa. O desconto bancário é o mais utilizado.

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