Flashcards
Algebra
Flashcards do conjunto (40)
- 1Co je to grupoid?Dvojice neprázdná množina, binární operace (uzavřená na M)
(M, o) - 2PologrupaGrupoid = uzavřenost
+ asociativita - 3MonoidPologrupa = uzavřenost
= asociativita
+ neutrální prvek - 4GrupaMonoid = asociativita
= uzavřenost
= neutrální prvek
+ inverzní prvky - 5Abelovská grupa= komutativní grupa
- 6Co platí o neutrálním prvku v monoidu?V každém monoidu existuje právě jeden neutrální prvek
- 7Co platí o inverzních prvcích?V grupě má každý prvek právě jeden inverzní prvek
- 8Jde poznat z Cayleyho tabulky, že jde o grupu?Ne. Neumíme snadno poznat asociativitu.
- 9Když Cayleyho tabulka tvoří latinský čtverec, jedná se o grupu?Ne, platí to jen naopak – grupa tvoří lat. čtverec.
- 10PodgrupaBuď G = (M, ◦) grupa. Podgrupou grupy G nazveme libovolnou dvojici
H = (N, ◦) takovou, že
– N ⊂ M,
– H = (N, ◦) je grupa - 11Vlastní a triviální podgrupytriviální: grupa obsahující pouze neutrální prvek: ({e}, ◦) a grupa samotná: G = (M, ◦).
ostatní podgrupy jsou vlastní - 12Je průnik podgrup také podgrupa?Ano
- 13Řád (pod)grupyŘád (pod)grupy G = (M, ◦) nazýváme počet prvků množiny M. Je-li M nekonečná
množina, je i řád nekonečný. Podle řádu rozlišujeme konečné a nekonečné grupy. - 14Lagrangeova větaBuď H podgrupa konečné grupy G. Potom řád H dělí řád G.
(implikace! neplatí oběma směry!) - 15Kdy je k generátor aditivní grupy?Aditivní grupa modulo n je rovna tehdy, a jen tehdy, když k a n jsou
nesoudělná čísla. - 16Jaký řád má multiplikativné grupa mod p, kde p je prvočíslo?p-1
- 17Cyklická grupaGrupa G = (M, ◦) se nazývá cyklická, pokud existuje prvek a ∈ M takový, že
= G. Tomuto prvku se říká generátor cyklické grupy. - 18Malá Fermatova větaV grupě G = (M, ◦) řádu n platí pro všechny prvky a ∈ M, že
\( a^n = e\) , kde e je neutrální prvek. - 19Co platí pro generátory v cyklické grupě (G, ·) řádu n?Je-li (G, ·) cyklická grupa řádu n a a nějaký její generátor, potom \(a^k\)
je také
generátor tehdy, a jen tehdy, když k a n jsou nesoudělná (tj. gcd(k, n) = 1). - 20Kolik generátorů je v cyklické grupě řádu n?\( \phi (n)\)
\(Z^{x}_p\) je cyklická grupa řádu p-1 a má tedy
\( \phi (p-1)\) generátorů - 21Je pogrupa cyklické grupy vždy cyklická?Ano
- 22Homomorfismus & izomorfismusBuďte G = (M, ◦G ) a H = (N, ◦H) dva grupoidy. Zobrazení ϕ : M → N nazveme
homomorfizmem G do H jestliže
pro všechna x, y ∈ M platí ϕ(x ◦G y) = ϕ(x) ◦H ϕ(y).
Je-li navíc ϕ bijektivní, říkáme že ϕ je izomorfizmus. - 23Co platí o homomorfismu grupy do grupoidu?Buď ϕ homomorfizmus grupy G = (M, ◦G ) do grupoidu H = (N, ◦H). Potom
ϕ(G) = (ϕ(M), ◦H) je grupa. - 24Musí se neutrální prvek jedné grupy zobrazit homomorfismem na neutrální prvek té druhé?Ano
- 25Jsou libovolné dvě cyklické grupy izomorfní?Ne, musejí mít stejný řád. Nebo být obě nekonečné.
- 26Kleinova grupagrupa (Z2 × Z2, ◦), kde
Z2 × Z2 = {(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)}
a ◦ je sčítání modulo 2 po složkách: např. (1, 0) ◦ (1, 1) = (0, 1).
Není cyklická! Není izomorfní se Z4! - 27Symetrická grupaMnožina všech permutací s operací skládání.
Libovolná konečná grupa je izomorfní s nějakou grupou permutací. - 28OkruhBuďte M neprázdná množina a + a · binární operace. Řekneme, že R = (M, +, ·)
je okruh, pokud platí:
(M, +) je Abelovská grupa,
(M, ·) je pologrupa,
platí (levý a pravý) distributivní zákon:
\((∀a, b, c ∈ M) (a(b + c) = ab + ac ∧ (b + c)a = ba + ca).\) - 29Dělitelé nulyBuď R = (M, +, ·) okruh. Libovolné nenulové prvky a, b ∈ M takové, že
\(a · b = 0,\)
se nazývají dělitelé nuly. - 30Obor integrityKomutativní okruh bez dělitelů nuly
- 31Těleso (field)Okruh T = (M, +, ·) se nazývá těleso, jestliže \((M \ {0}, ·)\) je grupa. Tuto grupu
nazýváme multiplikativní grupou tělesa T. - 32Homomorfismus a izomorfismus tělesZobrazení h z okruhu (resp. tělesa) R1 do okruhu (resp. tělesa) R2 je
homomorfismus, jestliže je h homomorfismem příslušných aditivních a
multiplikativních grupoidů (resp. grup).
Je-li navíc h bijekce (prosté a „na“), jedná se o izomorfismus - 33Počet generátorů v multiplikativní grupě modulo p?ϕ(p − 1)
- 34Může mít multiplikativní grupa modulo prvočíslo netriviální/vlastní grupy?Ano, řád je totiž ϕ(p − 1)
Nechť k < p dělí p − 1, pak v \(Z^{×}_p\)
existuje podgrupa řádu k a obsahuje právě
ty prvky, pro které \(a^k = 1\). - 35Co musíme vyhodit z množiny {1,2,3...n}, aby s operací násobení tvořila multiplikativní grupu modulo n?všechny dělitele n ale i čísla soudělná
pro celé číslo n > 1 tvoří množina
\({k ∈ N | 1 ≤ k < n, gcd(k, n) = 1}\) s operací násobení modulo n grupu. Tuto
grupu značíme \(Z^{×}_n\). - 36Kdy je grupa \(Z^{×}_n\) cyklická?když je n rovno \(2, 4, p^k\) nebo \(2p^k\) pro nějaké liché
prvočíslo p a celé k > 0. - 37Existují tělesa libovolné řádu?Existují pouze konečná tělesa řádu \(p^n\), kde p je prvočíslo a n je přirozené číslo.
Prvočíslo p se nazývá charakteristika.
Navíc platí, že všechna tělesa řádu \(p^n\)
jsou navzájem izomorfní. - 38Ireducibilní polynomBuď P(x) ∈ K[x] stupně alespoň 1. Řekneme, že P(x) je ireducibilní nad K,
jestliže pro každé dva polynomy A(x) a B(x) z K[x] platí
A(x) · B(x) = P(x) ⇒ (stupeň A(x) = 0 ∨ stupeň B(x) = 0) - 39Aditivní grupa tělesa \(GF(p^n)\)Má řád \(p^n\)
Neutrální prvek je 00 · · · 0 = \(0^n\)
Inverze k prvku \(b_1b_2 · · · b_n je (p − b_1)(p − b_2)· · ·(p − b_n)\).
Není cyklická, dokonce pro každý prvek x platí, že p × x = x. - 40Multiplikativní grupa tělesa \(GF(p^n)\)Má řád \(p^n − 1\).
Neutrální prvek je \(00 · · · 1 = 0^{n−1}1.\)
Inverzi ke každému prvku umíme nalézt pomocí EEA v polynomiálním čase.
Je vždy cyklická