FUNCIONES (Luis Fernando Ramirez Barranco)

FUNCIONES (Luis Fernando Ramirez Barranco)

1. DEFINICIÓN DE FUNCIONES

   • Una función matemática (también llamada simplemente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.
     • Ambas magnitudes son variables, pero se distinguen entre:
       • • Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la temperatura.
       • • Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.
       • Por lo tanto, dicha función puede expresarse en términos algebraicos, empleando signos de la siguiente manera: f: A → B a → f(a)
         • En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, mientras que B es el condominio de la función, o sea, el conjunto de llegada. Por f(a) se denota la relación entre un objeto arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le corresponde (su imagen).
           • Tipos de funciones matemáticas
             • Las funciones matemáticas pueden clasificarse de acuerdo al tipo de correspondencia que se da entre los elementos del dominio A y los de B, teniendo así lo siguiente:
               • Función inyectiva: Cualquier función será inyectiva si elementos distintos del dominio A se corresponden con elementos distintos del B, es decir, que ningún elemento del dominio se corresponde con la misma imagen de otro.
                 • Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:
                   • f(a)=2a+1f(b)=2b+1}Si f(a)=f(b)⇒2a+1=2b+1⇒a=b
                 • Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:
                   • f(a)=a2f(b)=b2}Si f(a)=f(b)⇒a2=b2⇒a=±b
               • Función sobreyectiva. Similarmente, hablaremos de una función sobreyectiva (o subyectiva) cuando a cada elemento del dominio A le corresponde una imagen en el B, incluso si ello implica compartir imágenes.
                 • ∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y
                   • Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f. Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.
               • Función biyectiva. Ocurre cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, cuando a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, y no quedan en el condominio imágenes sin asociar, o sea, no hay elementos en B que no correspondan a uno en A.
                 • F. biyectiva
                   • "f(x)=" √(3&?+2)
                 • F. no biyectiva
                   • "f(x)=" √(?+2)

2. Referencias:https://concepto.de/funcion-matematica/#ixzz6sFq81sUy https://www.fisicalab.com/apartado/f-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/representacion-funciones/

3. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

   • La representación de funciones es el mecanismo mediante el cual se representa gráficamente una función. Observando la gráfica se puede obtener mucha información acerca de cómo se comporta dicha función. Sea la función f definida por:
     • La gráfica de f consiste en dibujar el conjunto de pares ordenados (x , f(x)) de la función en coordenadas cartesianas
       • siendo Dom f el dominio de la función f.
   • COORDENADAS CARTESIANAS
     • Las coordenadas de un punto P = (x,y) vienen determindas por un par ordenado de números x e y, llamados coordenadas cartesianas.
       • La primera coordenada x es la abscisa del punto P. Se mide en el eje horizontal OX o eje de abscisas. La segunda coordenada y es la ordenada del punto. Se dibuja en el eje vertical OY o eje de ordenadas.

4. Características de la gráfica Antes de proceder a dibujar la gráfica de una función es conveniente estudiar sus características para que nos sea más fácil.

   • Dominio de la función
     • El dominio de una función f es el subconjunto Dom f (o D) de elementos que tienen imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de existencia de la función.
   • Recorrido de la función
     • El recorrido de una función f es el conjunto Im f (o Rec f) de todos los elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas las imágenes. También se le llama rango de una función o codominio.
       • Formalmente se define el recorrido de una función como:
   • Crecimiento y decrecimiento
     • La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región. El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.
   • Máximos y mínimos
     • Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
       • Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.
   • Continuidad y discontinuidad
     • Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.
       • La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función: Continuidad en un punto Continuidad lateral Continuidad en un intervalo

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