Métodos numéricos

Métodos numéricos

1. Procedimiento mediante el cual se obtiene la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos

2. Aproximación

   • Técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos.

3. Error numérico

   • Es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene.

4. Cifra significativa:

   • Lo podemos definir como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error.

5. Precisión:

   • • Se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.

6. Exactitud:

   • Se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.

7. Incertidumbre:

   • Incertidumbre también se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento.

8. Sesgo:

   • Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.

9. Tipos de errores numéricos

   • Error relativo:
     • Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.
   • Error absoluto:
     • Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
   • Error de redondeo
     • Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e 17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo.
   • Error de truncamiento:
     • Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

10. Tipos de métodos numéricos

    • Método de Euler
      • llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho.
    • Método de Euler mejorado
      • Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
    • Métodos de Runge-Kutta
      • Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
    • Método de Newton- Raphson
      • Este método de resolución numérica busca un cero de la función f(x) por aproximaciones sucesivas a partir de un valor inicial x0. El valor sucesivo xn+1 es la abscisa del punto en que la tangente a la gráfica de f(x) en xn corta al eje Ox.
    • Interpolación
      • Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1.
    • Derivación
      • La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede ‘aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x.
    • Integración numérica:
      • La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

11. Utilización de métodos numéricos:

    • Existen hoy en día, un gran número de estructuras en ingeniería civil, que son modelados desde su concepción utilizando técnicas de elementos finitos.
    • Los métodos numéricos también pueden ser utilizados para estudiar el comportamiento de estructuras que son fabricadas en serie.
    • También es posible hacer la simulación numérica entre dos sólidos, cada uno de ellos con un comportamiento diferente.
    • Determinación de zonas de falla en materiales frágiles como el concreto, laminados de materiales compuestos, cerámicos; estudio de piezas en rango plástico para predecir su comportamiento en situaciones extremas.
    • Modelos de daño para predecir el comportamiento de piezas mecánicas que ya están fracturadas y se requiere medir el grado de seguridad que aún pueden tener.

12. Métodos numéricos en la agricultura

    • Un agricultor tiene un problema en la producción de tomate, ya que una plaga ataca el cultivo. Un grupo de agrónomos y matemáticos determina que la plaga se duplicará aproximadamente entre uno o dos días. El modelo matemático encontrado, para determinar con precisión dicho tiempo, consiste en resolver la ecuación ex−x4+1=0 en el intervalo [1,2] con una precisión de ∈ =10−3.