Metodos numéricos

Metodos numéricos

1. MÉTODO NUMÉRICO es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).

2. APROXIMACIÓN: Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número

   • ERROR NUMÉRICO: es una medida del ajuste de la medida o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene
     • CIFRA SIGNIFICATIVA: Se denominan cifras significativas (c.s.) al conjunto de los dígitos que se conocen con seguridad en una medida. De todas las cifras significativas siempre hay una, la última, que estará afectada por un error. Por esta razón al resto de cifras se le denominan cifras exactas.

3. PRECISIÓN: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella.

   • EXACTITUD: Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero.
     • INCERTIDUMBRE: Incertidumbre también se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento
       • SESGO: Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular

4. CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE ERRORES NUMÉRICOS

   • ERROR RELATIVO: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Y el error relativo como ER = | P* - P| / P , si P =/ 0 El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como: ERP = ER x 100
   • ERROR ABSOLUTO:Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como: EA = | P* - P |
   • ERROR DE REDONDEO: La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.
   • Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial

5. TIPOS DE METODOS NUMERICOS

   • EULER: En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado
   • METODO DE EULER MEJORADO: Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente: Donde
   • RUNGE-KUTT. los métodos de Runge-Kutta son una serie de métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales (o bien sistemas de ecuaciones diferenciales Métodos lineales a un paso Son métodos numéricos en los cuales para avanzar al paso siguiente, solo es necesario la información del paso inmediatamente anterior, es decir para avanzar al paso n+1 solo es necesario la información sobre el paso n. O más formalmente x n + 1 = x n + F ( x n , t n , h ) xn+1=xn+F(xn,tn,h) x 0 = x ( 0 ) x0=x(0) donde x n xn es un vector de Rn, t n tn >es la variable (real) independiente, h el tamaño del paso, y F es una función vectorial de xn, tn, h, es decir F : R n + 2 ↦ R F:Rn+2↦R Obsérvar que este es en realidad un sistema de ecuaciones.
   • El método de Newton-Raphson “es un método interactivo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0. Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula: ” (UPC, 2008) xj+1 =xj − f(xj)
   • Interpolación es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible. El método de interpolación de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso. Por supuesto que este método tiene todo un desarrollo teórico para llegar a la ecuación general, pero es demasiado largo y para fines prácticos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el método y como aplicarlo
   • La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
   • INTEGRACIÓN NUMÉRICA: SUMA DE RIEMANN Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. REGLA DEL TRAPECIO Se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de esta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. REGLA DE SIMPSON Hablaremos de dos tipos de regla de Simpson; Simpson 1/3 y Simpson 3/8 . Simpson 1/3 sigue la misma filosofía que la regla del trapecio, lo que cambia es que Simpson 1/3 aproxima los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado. Por otro lado, tenemos la regla de Simpson 3/8, la cual en una manera similar a la regla de Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse.