Espacios vectoriales

Espacios vectoriales

1. Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamado producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático)

2. Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por ·. Diremos que (V,+,·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:

   • 1. Propiedad asociativa(+):(u+v)+w=u+(v+w),∀u,v,w∈V. 2. Propiedad conmutativa:u+v=v+u,∀u,v,∈V. 3. Existencia de elemento neutro:∃0∈V|0+v=v,∀v∈V. 4. Existencia de elemento opuesto:∀v∈V ∃-v∈V|v+(-v)=0. 5. Propiedad distributivaI:a·(u+v)=a·u+a·v,∀a∈R,∀u,v∈V. 6. Propiedad distributivaII:(a+b)·v=a·v+b·v,∀a,b∈R,∀v∈V. 7. Propiedad asociativa(·):a·(b·v)=(ab)·v,∀a,b∈R,∀v∈V. 8. Elemento unidad:1·v=v,∀v∈V.

3. De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares.

4. Proposición 1.1 En un espacio vectorial V , 1. El elemento neutro es u ́nico. Se denotara ́ por 0. 2. El elemento opuesto de un vector es u ́nico. Si v es un vector, su opuesto lo denotamos por −v.

   • Proposición 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades: 1. λ0=0,λ∈R. 2. 0v=0,v∈V. 3. (−λ)v=−(λv),λ∈R,v∈V. 4. Siλv=0,entoncesλ=0ov=0.

5. EJEMPLO

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