Límites

LÍMITE

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• En análisis real y complejo,el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función.
• A medida que los parámetros de esa sucesión o una función se acercan a un determinado valor.En el análisis los conceptos de series convergentes,derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto límite.
• El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos,como pueden ser las redes topológicas;de la misma manera,es definido y utilizado en otras ramas de la matemática.
• Legenda: o Cuando X tiende al punto Xo,el valor de la función se va aproximando a L,por tanto,el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Así será gráficamente.

HISTORIA

• Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII,la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien,en 1817,introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.Sin embargo,su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo.
• La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850-1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
• La notación de escritura usando la abreviatura lim con la fecha debajo es debida a Hardy en su libro A COURSE OF PURE MATHEMATICS en 1908.
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• Legenda: (Karl Weierstrass)

PROPIEDADES

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• Legenda: (Así se expresan matemáticamente)

Asíntotas horizontales y verticales

• Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable X tiende a A,se dice que su límite es infinito.Análogamente,también es posible definir límites de una función cuando el valor de X tiende a +Y o a -Y.
• Se dice que una función f(x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es X=A,cuando al menos existe uno de los límites laterales de la función en el punto A y dicho límite es +Y o -Y.
• La función f(x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación Y=B,cuando existe al menos uno de los límites de la función en el caso de que X tienda a +Y o -Y y dicho límite sea B.
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• Legenda: (Asíntotas horizontales y verticales de una función)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

• La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular.Tender a un límite significa aproximarse a una metra,que no siempre se logra alcanzar.
• En el ámbito matemático,esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande.
• Se dice que una función f(x) tiene límite L en el punto X=A,si es posible aproximar f(x) a L tanto como se quiera cuando X se acerca indefinidamente a A,siendo distinto de A.
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• Legenda: (Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite)

LÍMITES DE SUCESIÓN

• El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático.El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite.
• Si una sucesión tiene límite es convergente.En caso contrario,la sucesión es divergente.
• La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite,La condición impone que los elemento subsiguientes no implica,en general,que la sucesión tenga un límite.
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• Legenda: (Gráfico de una sucesión)

LÍMITES LATERALES

• Donde,lim es la manera abreviada de escribir límite,f(x) es la función en estudio y X-A se lee(cuando X tiende al valor A en la función),es decir,cuando la variable X toma valores cercanos al valor A y L es el resultado del límite.
• Límite una función se entiende que es estudio del comportamiento de ésta,en un punto específico,pero si aplicamos el análisis(por separado)entre los números menores al punto y mayores a él,estamos hablando de límites laterales de una función
• Si el límite por la izquierda y derecha de ese punto no tienen el mismo valor,podríamos decir que el límite no existe,por lo tanto,los límites laterales son una forma de comprobar su existencia.
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• Legenda: (IZQUIERDA-DERECHA)

LÍMITES INFINITOS

• Si una variable independiente X está creciendo indefinidamente a través de valores positivos se escribe x-+oo,y si decrece a través de valores negativos se denota como x--oo.
• Similarmente cuando una función f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores,se escribe f(x)-+oo y se decrece tomando valores negativos se escribe f(x)--oo.
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• Legenda: (Gráfico de un infinito)

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

• Límite de una función "f" cuando "X" tiende a "B":consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que "x" se aproxima a "B",sin llegar a valer "B".
• Funciones trigonométricas:las funciones trigonométricas son las funciones seno,coseno y tangente,denotadas por sin(x),cos(x) y tan(x) respectivamente.
• Las demás funciones trigonométricas se obtienen a partir de las tres funciones mencionadas anteriormente.
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• Legenda: (Gráfico de las funciones seno,coseno y tangente)

CÁLCULO DE LÍMITES

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• Legenda: (Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las X)

MATEMÁTICAS

• Las matemáticas es la ciencia formal que estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas.
• Es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantar problemas.
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• Legenda: (Límites)

Los AUTOS

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• -Automovil viene del griego auto igual a uno y movil igual a mueve.
• - En si es un vehiculo auto pulsado, que sirve para el transporte.