LÍMITES II

LÍMITES

1.- PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

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• Supongamos que f y g son funciones tales que lim f(x) =L y lim g(x)=M entonces se tienen las siguientes propiedades:
• ​​​​​​​♥ lim [ f(x) + g(x) ] = L+M. "El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones (cuando éstos existen)."
• lim ( x + 15 ) = lim x + lim 15= 3 + 15 = 18 x->3 x->3 x->3

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• ♥ lim [ f(x) - g(x) ] = L - M. "El límite de una resta de funciones es la resta de los límites de esas funciones (cuando éstos existen)."
• lim ( x - 15 ) = lim x - lim 15 = 3 - 15 = -12 x->3 x->3 x->3
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• ♥ lim [ f ( x ) g ( x) = L * M. "El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de esas funciones (cuando éstos existen)."
• lim 4x = lim 4 * lim x = 4 * 5 = 20 x->5 x->5 x->5
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• ♥ lim f (x) / g (x) = L / M, siempre que M =/ 0. " El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites de esas funciones (cuando éstos existen y el límite en el denominador es diferente de 0)"
• lim x + 15 / x - 15 = lim x->3 (x + 15) / lim x->3 (x - 15) = x->3 18 / -12 = -3 / 2
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• ♥ Si n es un número entero entonces lim [ f (x) ]^n. Cuando n es negativo se debe tener que L =/ 0. "El limite de una potencia de una función es la potencia del límite de esa función (cuando éste existe y en caso de que el exponente sea negativo L=/ 0)"
• lim x^3= [ lim x ]^3 = 2^3 = 8 x->2 x->2
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• ♥ Si n es un número natural entonces lim ^n |/f (x) = ^n |/L. En caso de que n sea par debemos tener L _> 0. "El límite de la raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite de la función (cuando éste existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)"
• lim |/ x = |/ lim x = |/ 4 = 2 x->4 x->4
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EJEMPLOS DE PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

EJEMPLOS DE PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

2.- FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
• Por ejemplo, si realizamos el producto ( x-2 ) ( x+3 ) se obtiene como resultado x^2 + x - 6, en otras palabras: x^2 + x - 6 = ( x-2 ) ( x+3 ) de manera que ( x-2) (x+3 ) es una factorización de x^2 + x - 6, se dice que ( x-2 ) ( x+3 ) son factores de x^2 + x - 6.
• Formulas para factorizar:
• • x^2 + 2xy + y^2 = (x + y) (x + y)
• • x^2 - y^2 = (x + y) (x - y)
• • x^3 + y^3 = (x+y) (x^2- xy + y^2)
• • x^2 - 2xy + ya2 = (x-y) (x-y)
• • x^3 - y^3 = (x-y) (x^2 +xy + y^2)
• • x^2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
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FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y "tachar" los factores que sean indénticos "arriba" y "abajo" en la fracción.
• Por ejemplo, x^2 + x - 6 = ( x-2) (x+3) y x^2 - 4 = (x-2) (x+2), entonces
• x^2 + x - 6 / x^2 - 4 = (x-2) (x+3) / ( x-2) (x+2) = x + 3 / x + 2
• La última fracción es simplicación de la primera (se tachó en común x - 2 ).
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FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

3.- MÉTODOS PARA CALCULAR LÍMITES

• PRIMER MÉTODO:
• FACTORIZACIÓN Y
• SIMPLIFICACIÓN
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MÉTODOS PARA CALCULAR LÍMITES

MÉTODOS PARA CALCULAR LÍMITES

• SEGUNDO MÉTODO:
• RACIONALIZAR Y
• SIMPLIFICAR
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MÉTODOS PARA CALCULAR LÍMITES

MÉTODOS PARA CALCULAR LÍMITES

• TERCER MÉTODO:
• COMBINACIÓN
• DE LOS
• ANTERIORES
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