funciones racionales

FUNCIONES RACIONALES

• Calculo de Limites
• limite de una funcion constante
• de la grafica 2.5 podemos ver que para cualquier valor de C tenemos que
• limk = k x→c
• En el ejemplo 7 tenemos tres parentesis que son base o parte de la figura 2.25
• a) lim 2 = 2 x→5
• b) lim √ 2 = √ 2 x→−3
• c) lim 3, 5 = 3, 5 x→1/ 2
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El límite de la función identidad

• en este tema tambien vamos a ver unos ejemplos desarrollados en base a una grafica 2.26 de la cual podemos observar que para cualquier valor x = c se tiene que
• lim x = c x→c
• en base a la formula y a la grafica salen como resultado estos tres parentesis
• a)lim x = 5 x-5
• b) lim x= -3 x-3
• c)lim x= 1/2 x-1/2
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Propiedades de los límites

• Los limites que anteriormente comentamos junto con las propiedades de los limites que mas adelante vamos a exponer, nos van a ayudar a calcular una gran cantidad de limites sin el uso de tablas o algun tipo de grafica
• Teorema 2.1 operaciones con limites
• *en esta parte vamos a ver los limites de de diferentes valores desarrollados en un problema
• Suponga que f y g son funciones tales que lim f(x) = L y lim g(x) = M entonces se tienen las siguientes propiedades: x→c x→c
• a) lim [f(x) + g(x)] = L + M. “El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones (cuando estos existen)” x→c
• b) lim [f(x) − g(x)] = L − M. “El límite de una resta de funciones es la resta de los límites de esas funciones (cuando estos existen)” x→c
• c) lim [f(x)g(x)] = L · M. “El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de esas funciones (cuando estos existen)” x→c
• d) lim [f(x) g(x)] = L/ M , siempre que M /= 0. “El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites de esas funciones (cuando x→c
• estos existen y el límite en el denominador es diferente de 0)”
• e) Si n es un número entero entonces lim [f(x)]n = L n . Cuando n es negativo se debe tener que L /= 0. “El límite de una potencia de una función x→c
• es la potencia del límite de esa función (cuando este existe y en caso de que el exponente sea negativo L /= 0)”
• f) Si n es un número natural entonces lim √f(x) =n √ L. En caso de que n sea par debemos tener L ≥ 0. “El límite de la raíz n–ésima de una x→c
• función es la raíz n–ésima del límite de la función (cuando este existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)”
• Colocamos todos estos parentesis ya que es de suma importancia conocer cada una de las propiedades de estos valores

Aplicación de las propidades de los limites

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• Caption: estos son algunos ejemplos de la aplicacion de las propiedades de los limites

Limites determinados o Indeterminados

• Decimos que el límite es determinado si al evaluar la función en el valor hacia el que x tiende se obtiene el valor del límite. En caso contrario se dice que es indeterminado. Existen varias formas indeterminadas; la que acabamos de ver se llama la forma indeterminada 0 /0 .
• De esto se va a desplegar un teorema
• Dos límites coinciden si ...
• Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a c y si f(x) = g(x) para todo x del intervalo con x /= c entonces lim f(x) = lim g(x) x→c x→c
• a lo que se traduciria a que no importa lo que pase en C si las funciones coinciden para los valores cercanos a C los limites indicados son iguales
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Limites determinados o inderteminados

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• Caption: ejemplo felacionado al tema anterior

factorización y simplificación

• Factorizar
• es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
• Por ejemplo
• si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x 2 + x − 6, en otras palabras: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x 2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x 2 + x − 6.
• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean id´enticos “arriba” y “abajo” en la fracción.
• Por ejemplo
• x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
• entonces x 2 + x − 6/ x 2 − 4 = (x − 2)(x + 3)/ (x − 2)(x + 2) = x + 3/ x + 2
• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios. Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x 2 + x − 6, en otras palabras: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorizaci´on de x 2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x 2 + x − 6. Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean id´enticos “arriba” y “abajo” en la fracci´on. Por ejemplo, x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces x 2 + x − 6 x 2 − 4 = (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 2) = x + 3 x + 2

Cálculo de límites: métodos

• en este apartado vemos que con el objeto de realizar estas transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra básica tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios, racionalización y simplificación de expresiones algebraicas en general.
• a continuacion te mostraremos un ejemplo del primer metodo el cual es FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR
• en este ejemplo como en los demas vamos a ver limites indeterminados de la forma 0/0. Cuando este calculando limites haga siempre en primer lugar la evaluacion por que el limite si no es indeterminado no es necesario realizar transformaciones por mas extrañas que sea la función
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• Caption: Ejemplo de FACTORIZACION Y SIMPLIFICACION

SEGUNDO METODO RACIONALIZAR

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• Caption: en una fraccion algebraica que contenga radicales racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerados normlmente el radical no desaparece del todo de la expresion si no que "Cambia de lugar"

tercer metodo combinacion de los anteriores

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• Caption: estos don algunos ejemplos de este ultimo metodo de los limites

Colclución

• en estos breves subtemas vemos lo que es la explicacion de los limites desde sus propiedades hasta sus metodos en los cuales nos desarrollan cada uno de ellos con ejemplos desarrollados para poder entender mejor
• esperemos sean utiles estas diapositivas y de una manera facil y practica de entender este pequeño tema
• Agradecemos su atencion