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Description
Flashcards by Krajišnik u duši, updated more than 1 year ago
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Created by Krajišnik u duši
over 5 years ago
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| Question | Answer |
| Eigenschaften Beträge einer komplexen Zahl | - Der Betrag ist immer größer gleich 0 -Ist der Betrag 0, so ist z=0 -Der Betrag von z1*z2 ist das selbe wie das Produkt der einzelnen Beträge -Die Summe der Beträge von z1 und z2 ist immer kleiner gleich als die Summe der einzelnen Beträge(Dreiecksungleichung) |
| Eigenschaften einer Konjugiert komplexen Zahl | -Die doppelt konjugiert komplexe Zahl gibt wieder dieselbe komplexe Zahl -Konjugiert komplexe Summen und Produkte sind sind gleich der Summe und der Produkte der einzelnen komplexen Zahlen -re(z)=0.5*(z+z*) -im(z)=(1/2i)*(z-z*) -abs(z)=sqrt(z mal z*) z mal z*=x^2+y^2 |
| Was ist zu tun, wenn eine komplexe Zahl im Nenner steht? | Multipliziere Zähler und Nenner mit der Konjugiert komplexen Zahl |
| Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung von komplexen Zahlen? | z=abs(z)*(cos()+i*sin()) |
| Was passiert mit den Beträgen und Argumenten von komplexen Zahlen bei der Multiplikation | Beträge werden multipliziert, Argumente werden addiert |
| Wie lautet eine komplexe Zahl in Eulerscher Form? | z=abs(z)*exp(i*argument) |
| Komplexe Zahlenebene | -Immer Realteil und Imaginärteil vergleichen -Bei ungleichungen evtl. auf Fallunterscheidungen achten -Bei beträgen:Versuchen als Differenz darzustellen, dann evtl. mittelpunkt und Radius von Kreis finden -Kreisgleichung mit quadratischer Ergänzung ermitteln -Ellipsengleichung finden |
| Ellipsengleichung | (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 Dabei a große Halbachse und b kleine Halbachse |
| Nullstellen eines Polynoms | -Hat ein Polynom eine komplexe Nullstelle, so ist die komplex konjugierte Zahl ebenfalls eine Nullstelle(Polynom muss reel sein) -Jedes Polynom des Grad >=1 hat in C mindestens 1 Nullstelle -z* heißt k-fache Nullstelle von p falls p durch (z-z*)^k teilbar ist |
| Nullstellen eines Polynoms (2) | -Besitzt ein Polynom vom Grad n n+1 Nullstellen, so ist p=0 -Stimmen zwei Polynome p und q jeweils vom Grad n an n+1 Stellen überein, so ist p=q |
| Einheitswurzel | -Die Nullstellen verteilen sich gleichmäßig auf dem Einheitskreis -versuchen phi immer als Formel in Abhängigkeit von k darzustellen |
| Superpositionsprinzip diff.Gleichungen | Jede Linearkombination der Lösungen geben einer erneute Lösung |
| Anfangswertproblem | Setze Anfangsbedingung ein und löse mit linearem Gleichungssystem nach alpha und beta auf |
| Charakteristisches Polynom komplexe Nullstellen | -Anstatt alpha und beta element r wähle c1 und c2 element c -wandle um: anstatt c1+c2 nehem c1+c1*(fallsy(x) element r) -Schreibe in Polarform -Schreibe um mit c1`cos(x)+c2´sin(x) mit c´element r |
| Inhomogene Diff.gleichung | -Lösung ist summe aus homogener und inhomogener Lösung -inhomogene Lösung=P(x)*exp(sx)*x^q -Setze diese in die Gleichung ein(hier muss abgeleitet werden) -Löse nach c auf (evtl. Koeff-Vergleich) |
| Mehrfache Nullstelle bei char.Polynom | -Lösung: c1*e^+c2*x*e^+c3*x^2*e^+.... |
| Ansatz für sin(x) und cos(x) bei diffgleichungen | (a*cos(kx)+b*sin(kx))*x^q |
| Skalarprodukt | -abs(a)*abs(b)*cos(phi) |
| Vektorprodukt | -Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem von a und b aufgespanntem Parallelogram -Das Vektroprodukt axb steht senkrecht auf a und b -axa=0 -axb=-bxa -(c*a)xb=c*(axb) |
| Spatprodukt | -3 Vektoren spannen ein Volumen auf:(axb,c) |
| Hessesche Normalform | -Finde orthogonalen Vektor n -Berechne p mit p=(n*,a) und a als Stützvektor und n* als normiertes n -(n*, a)-p=0, wenn p <0 ist (also dann eigentlich + da steht), multipliziere mit -1 durch -p ist der Abstand zum Ursprung -setzt man für a x in HNF ein, so erhält man abstand zu beliebigem Punkt |
| Gleichungsdarstellung Gerade | -parameterdarstellung "ausmultiplizieren" -im Gleichungssystem dann lambda eliminieren -Dann zwei gleichungen(Schnitt zweier Geraden) -In andere Richtung: 1 x gleich lambda setzen, dann x übereinanderschreiben und parameterform ablesen(Darstellung nicht eindeutig) |
| Abstände mit ebene | -Ursprung-Ebene: n**a -Punkt ebene:In HNF einsetzen -Gerade-Ebene: n**(r-a) (r element g und a element e) -Ebene-Ebene: Analog zu gerade-Ebene |
| Abstände mit Gerade | -Gerade g und Gerade h windschief:bilde Hilfsebene, in der Gerade g liegt. Jetzt wie abstand Ebene und Gerade h -Gerade g und Gerade h parallel: HE senkrecht zu beiden, Ermittle SP, abstand der SP gleich Abstand gerade - |
| Schnittwinkel | -gerade-gerade: cos(a)=(u,v)/(abs(u)*abs(v)) -ebene-ebene:analog, nur mit normalenvektor -ebene-gerade: sin(a)=(n,v)/(abs(n)*abs(v)) |
| Implikation | -Wenn gilt: A=>B, dann ist A hinreichend für B und B notwendig für A |
| Beweisarten | -direkter Beweis: A=>B -indirekter Beweis: nicht B=> nicht A -Widerspruchsbeweis: nicht(nichtB und A) |
| Induktion | -Induktionsanfang (zeige für n=1) -Induktionsvoraussetzung: nochmal Aussage hinscreiben, gilt für alle n e ... -Induktionsbehauptung:setze n+1 ein -Induktionsschritt: Verwende Induktionsvoraussetzung und fasse zusammen |
| Permutation (Vertauschungen) | -Für ein n-elementiges Tupel gibt es n! verschiedene Permutationen (Vertauschungen) |
| Binomialkoeffizient | -n über k=(n!)/((n-k)!*k!) |
| Pascalsche Regel | (m über k)+(m über k+1)=(m+1 über k+1) |
| Vereinigung, Schnitt, Differenz | -x e M oder x e N -Schnitt x e M und x e N -Differenz x e M und x nicht element N |
| Komplement und Disjunkt | -Wenn N teilmenge von M und Nc=M differenz N, so heißt Nc komplement von N -M und N heißen disjunkt, wenn M geschnitten N gleich der leeren Menge |
| Kartesisches Produkt, Potenzmenge | -Kartesisches Produkt: M=(1,2) N=(3,4): MXN=[(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)], dabei MXX nicht dasselbe wie NXM -Potenzmenge: Alle möglichen Teilmengen einer Menge, auch leere Menge enthalten (nicht doppelt wegen anderer Reihenfolge!) |
| Relationen | -Relationen setzen Elemente von M und N in Verbindung -Relation ist Teilmenge von MXN -BSP.: Jede Funktion ist eine relation |
| Äquivalenzrelation | -aRa für alle(Reflexivität) -aRb=bRa (Symmetrie) -aRb und bRc => aRc (Transitivität) -Ist R eine äquivalenzrelation, so zerfällt M in disjunkte Teilmengen |
| Ordnungsrelation | -aRa für alle a (Reflexivität) -aRb und bRa=> a=b (Antisymmetrie) -aRb und bRc=> aRc (Transitivität) -gilt zusätzlich: für x ungleich y ist xRy oder yRx haben wir eine Totalordnung |
| Schranken und Beschränktheit | -Obere Schranke: jede Zahl, die größergleich ist, als die größte Zahle der Menge -untere Schranke: dasselbe Analog -M heißt beschränkt, falls M nach oben und unten beschränkt ist, d.h. eine obere und eine untere Schranke existiert |
| Supremum, Infimum, Minimum, Maximum | -Supremum: die kleinste obere Schranke -Infimum: größte untere Schranke -Maximum: größte in Menge enthaltene Zahl -Minimum:kleinste in Menge enthaltene Zahl -Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum(analog infimum) |
| Abbildungen | -Abbildung M ->N: M ist Defintionsbereich, N ist Bildbereich -Abbildung, wenn wedem x e M höchstens 1 y e N zugeordnet wird |
| Injektivität, Surjektivität, Bijektivität | -Surjektiv: wenn f(x)=y mind. 1 Lösung hat für alle y e N (Bildmenge) "wenn jedes y mindestens 1 x hat" -Injektiv: wenn f(x1)=f(x2)=>x1=x2 "wenn jedes y höchstens 1 x wert hat" -Bijektivität wenn surjektivität und injektivität gilt und es gibt eine Umkehrabbildung |
| Abzählbarkeit Mengen | -endlich, wenn für ein n e N gilt: phi:{1,...,n}->M bijektiv -abzählbar, wenn N->M bijektiv -sonst überabzählbar -rationale Zahlen abzählbar, reele Zahlen überabzählbar |
| Beschränktheit, Konvergenz Folgen, Häufungspunkte | -Beschränkt: Es gibt ein C >0 mit |(a)n|<=C für alle n e N (bleibt also immer in bestimmten Bereich) -konvergenz : |an-a|<e ab einem Gewissen Punkt N, dabei n>=N, nicht Konvergente Teilfolge Divergent -mögliche Grenzwerte von Teilfolgen heißen Häufungspunkte |
| Grenzwertsätze | -Seien an und bn konvergente Folgen, dann gilt: -lim |an|=|lim an| -lim (an+bn)=lim an+ lim bn -lim (l*an)=l*lim an -lim(an*bn)=lim an*lim bn -lim(an/bn)=lim(an)/lim(bn), wenn bn immer ungleich 0 -lim m-tewurzel(an)=m-tewurzel(lim(an)) |
| wichtige grenzwerte für n->unendlich | -1/n=0 -a^n/n!=0 -((n+1)/n)^2=e -n^p*q^n=0 für |q|<1 u. p e ganze Zahlen |
| Monotone Folgen | -monoton wachsend: an<=an+1 für alle n e N -streng monoton wachsend:an<an+1 für alle n e N (analog fallend) -Folge Monoton wachsend und beschränkt, so konvergiert die Folge |
| Differenzierbarkeit | -Funktion heißt diff.bar in x0, falls es einen Grenzwert gibt für lim (h->0) (f(x0+h)-f(x0))/h |
| Tangentengleichung | -f(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0) |
| Quotientenregel | (u/v)`=(u´*v-u*v´)/(v^2) |
| Umkehrfunktion | -Sei f [a,b]->R monoton streng monoton wachsend mit f´(x0) ungleich null und differenzierbar. Dann existiert die Umkerfunktion und besitzt die Ableitung (f^-1)´(y0)=1/(f´(x0)) mit f´(x0)=y0 |
| -wichtige Ableitungen | -tan(x)->1/(cos(x)^2) -arctan(x)->1/(1+x^2)) -arcsin(x)->1/(sqrt(1-x^2)) -arccos->-1/(sqrt(1-x^2)) -sinh(x)<->cosh(x) |
| Sätze Ableitungen | -Hat eine Funktion ein lokales Minimum oder Maximum, so gilt notwendigerweise f´(x0)=0 (Umkehrung gilt nicht unbedingt) -Satz von Rolle: gilt f(a)=f(b), so gibt es ein x0 mit f`(x0)=0 (wenn f diffbar) -1Mittelwertsatz: es gibt ein (x0) mit f(x0)=(f(b)-f(a))/(b-a) |
| Taylorpolynom bestimmen | -Bis zur verlangten Stufe ableiten -Entwicklungspunkt in Formel einsetzen |
| Satz von Bolzano-Weierstraß | Jede beschränkte Reele Folge besitzt eine konvergente Teilfolge |
| Häufungspunkte, liminf, limsup | -x heißt Häufungspunkt, wenn eine Teilfolge exisitiert, die gegen x konvergiert; -liminf: Häufungspunkt mit niedrigstem wert -limsup:Häufungspunkt mit höchstem Wert |
| Cauchy-Folge | -Jede Cauchy-Folge ist Konvergent -Jede Konvergente Folge ist Cauchy-Folge |
| Quotientenkriterium | -abs(an+1/an): wenn kleiner 1: konv. wenn größer 1: div. wenn gleich 1: keine Aussage mögl. |
| Wurzelkriterium | -n-teWurzel(an): wenn kleiner 1 konv. (SOGAR Absolut) wenn gr. 1 div wenn gleich 1 keine Aussage mögl. |
| Majorantenkriterium | Finde konvergente Majorante, meist geometrische Reihe q^k, mit lim k gegen unendlich = 1/1-q, wenn abs(q)<1 |
| Divergenzkriterium (Minorantenkriterium) | -Finde divrgente Minorante |
| Absolute Konvergenz | -Wenn auch reihe (abs(an)) konvergent -Divergente minorante: Reihe konvergiert nicht absolut -Konvergente Majorante: Reihe konvergiert absolut |
| Konvergenzradius | -Zu jeder Potenzreihe gibt es eine Zahl r e (0, unendlich], den sogenannten Konvergenzradius der reihe, sodass reihe absolut konvergent -r=1/(limsup(abs(ak))^(1/k) -innerhalb des konvergenzradius sind potenzreihen beliebig oft diffbar |
| Konvergenzradius zweite möglichkeit | -r=1/lim(ak)^(1/k) -r=lim (abs(ak/ak+1)) -Gilt, falls die Grenzwerte existieren bzw. unendlich sind |
| Potenzreihen einiger funktionen | -1/(1-x)=x^k -e^x=x^k/k! -sinx=(-1)^k*(x^(2k+1)/(2k+1)!) -cosx=(-1)^k*(x^(2k)/((2k)!) ln(x+1)=(-1)^k*(x^(k+1)/k+1)) arctanx=(-1)^k*(x^(2k+1)/(2k+1)) (1+x)^b=(b über k) *x^k sinh=1/(2k+1)!*x^(2k+1) cosh=1/(2k)!*x^(2k) |
| Funktionenfolgen Konvergenz | -Punktweise Konvergent, wenn gilt: lim fn(x) mit n gegen unendlich=f(x) -Gleichmäßig Konvergent: lim n gegen undendlich sup(fn(x)-f(X))=0 -Grenzfunktion muss stetig sein, sonst nicht gleichmäßig stetig |
| Stegige fortsetzbarkeit | -Betrachte limes von links und von rechts in kritischem Punkt. Wenn gleich, dann fortsetzbar, wenn nicht dann nicht |
| Stetigkeit kombinierter Funktionen | werden zwei stetige funktionen kombiniert, so wird die "Kombinationsfunktion" auch stetig |
| Kriterien Riemanintegrierbar | -Jede Funktion deren Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden, d.h., wenn sie abzählbar sind, so ist sie R-integrierbar -Jede Monotone Funktion ist R-Integrierbar |
| Dimension Vektorraum | -Anzahl der Elemente der Basis |
| Dimensionsformel | dim(Ker(A))+Rang A=n |
| Kern Matrix | -Vektor, der rauskommt, wenn Matrix 0 gesetzt wird. Nullvektor immer ein Kern -Ist determinante d.Matrix ungleich 0, so hat matrix keinen kern, außer Nullvektor |
| Rang Matrix | -Matrix auflösen und Zeilen zählen, in denen nicht nur nullen vorkommen -Quadratisch: wenn Rang zeilen bzw. Spaltenzahl entspricht, hat man eine reguläre Matrix und sie ist invertierbar |
| -Erzeugendnensystem- | -Matrix d. Vektroen bilden und schauen ob voller rang, wenn ja dann erzeugendensystem |
| Rechenregeln Matrix Transponiert | -(A+B)t= At+ Bt -(a*A)t=a*At -(At)t=A -(AB)t=Bt*At |
| Symmetrische und Schiefsymmetrische Matrix | -Sym: A=At -Schiefs. A=-At |
| Wichtige Sätze Matrix | Folgende Aussagen sind Äquivalent: -A ist regulär -A hat vollen Rang -Zeilenvektoren sind l.u. -Ax=0 hat nur x=0 als lösung -Ax=b ist eindeutig lösbar -Spaltenvektoren sind l.u. -Matrix besitzt eine Inverse -Determinante ungleich 0 -Keinen Eigenwert gleich 0 |
| Invertierbarkeit | ist A (quADRATISCH) invertierbar, so ist auch At invertierbar -Invertierbar, wenn det ungleich 0 |
| Basiswechsel | -1.Bilde Basisvektoren von Urbildraum mit linearer Abbildung ab (ergibt Bildvektoren) -2.Stelle Bildvektoren als Linearkombination der Basiselemnte von Bildraum dar -3.Eintragen der Koeffizienten in Matrix |
| Determinanten | -Ist Det ungleich 0: Zeilen und Spalten sind l.u.; Regulär, d.h inverse existent -Bei Anwendung von Gaußalgorithmus bleibt det gleich -Det A^-1=1/DetA |
| Ähnliche Matrizen | -A und B heißen Ähnlich wenn gilt: B=S^-1*A*S -Haben dasselbe char. polynom=> gleiche Eigenwerte, gleichen alg vfh, gleiche Spur, gleiche Determinante |
| Aus eigenwerte Spur und Det bestimmen | -Spur=e1+e2+e3 -Det=e1*e2*23 (gilt nicht für Diagonalisierbaren Matrizen) |
| Diagonalisierbarkeit | -Genau dann Diagonalisiebar, falls Basis aus Eigenvektoren -genau dann Diagonalisierbar, wenn algebraische und geometrische Vielfachheit übreinstimmt |
| postitiv definit, hermitisch | -Positiv definit, wenn: x^t*A*x>0 -Hermitisch=A=A konjugiert Komplex und T |
| Quadriken Formen | -x^2+y^2+z^2-1=0: Ellipsoid -x^2+y^2-z^2-1: Einschalige Hyperboloid -x^2+y^2-z^2+1: Zweischalige Hyperboloid -x^2+y^2-2z:Elliptische Paraboloid -x^2-y^2-2z: hyperbolische Paraboloid |
| Divergenz, Laplace, Rotation | -Divergenz: Ableitung*vektorfeld -Laplace: zweite Ableitun*Vektorfeld -Rotation: Ableitung X Vektorfeld |
| Tangentialebene | -Taylorpolynom 1. Grades bestimmen |
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