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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
almost 7 years ago
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| Question | Answer |
| Wie lässt sich durch Reihen, die Existenz der Winkelfunktionen nachweisen? | Indem man die Summenfunktion zur Sinus- und zur Cosinusreihe aufstellt, und für diese dann die spezifischen Eigenschaften der Winkelfunktionen nachweist. |
| Was besagt der trigonometrische Pythagoras? | Anwendung des Satz des Pythagoras am Einheitskreis: \( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \) |
| Warum sind die Funktionswerte von Sinus und Cosinus beschränkt auf das Intervall [-1,1] ? | andere Zahlen außerhalb würden den trigonometrischen Pythagoras nicht erfüllen. |
| Wieviele Nullstellen hat die Funktion Cosinus im Intervall [0,2] ? | Genau eine. Bei \( \pi \) |
| Wie lassen sich spezielle Funktionswerte (z.B. x = Vielfaches von Pi) von Sinus und Cosinus ohne Berechnung bestimmen? | Durch die Additionstheoreme bzw. den trigonometrischen Pythagoras |
| Was ist sin(x + \( 2\pi \)) = ? | sin (x) |
| Was ist sin(x + \( \pi\) ) = ? | - sin(x) |
| sin \( x + \frac{\pi}{2} \) = ? Was bedeutet das? | = cos (x) Und bedeutet, dass Sinus und Cosinus genau um Pi/2 zueinander phasenverschoben sind |
| Wann nennt man eine Funktion periodisch? | Wenn sie nach einem festen p \( \epsilon \R \) ≠ 0 immer wieder den gleichen Funktionswert annimmt: f(x + p) = f(x) |
| Wie ist die Tangensfunktion definiert? | als f(x) = sin(x) / cos(x) |
| Wie ist die Cotangensfunktion definiert? | Als: f(x) = cos(x) / sin(x) |
| 1 / tan (x) = ? | cot(x) = cos (x) / sin (x) |
| Was ist der Definitionsbereich des Tangens? | ganzzahlige Vielfache von Pi / 2 |
| Was ist der Definitionsbereich vom Cotangens? | ganzzahlige Vielfache von Pi |
| Was ist die Ableitung des Tangens? | 1 durch Cosinus-Quadrat: \( tan' (x) = \frac {1}{cos^2(x)} \) |
| Was ist die Ableitung des Cotangens? | 1 durch Sinus-Quadrat: \( cot' (x) = \frac {1}{sin^2(x)} \) |
| Was ist die kleinste positive Periode von Sinus und Cosinus? | 2 Pi |
| Was ist die kleinste positive Periode von Tangens und Cotangens? | Pi |
| \( 1 + tan^2(x) \) = ? | tan' (x) |
| \( - (1 + cot^2(x)) \) | cot'(x) |
| Wie verläuft die Tangensfunktions grob skizziert? | streng monoton steigend im Intervall: [-Pi / 2 , Pi / 2] (periodisch wiederkehrend) |
| Wo ist der Tangens nicht definiert? | Dort wo der cos(x) = 0 ist. Also immer bei ganzzahligen Vielfachen von Pi/2 |
| Wo ist der Cotangens nicht definiert? | Dort wo sin(x) = 0 ist: Also bei ganzzahligen Vielfachen von Pi |
| Wie verläuft die Cotangensfunktion grob skizziert? | streng monoton fallend zwischen den Stellen, wo sich nicht definiert ist. ( \( k * \pi | k \epsilon Z \) ) |
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