Transformaciones lineales: definición, núcleo e imagen

Transformaciones

Lineales

Sean

V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una

función que asigna a cada vector v ∈ V un único

vector Tv ∈ W y que satisface para cada u y v en V y cada

escalar α,

T(u + v) = Tu + Tv (1)

T(αv) = αTv (2)

Clasificación de las transformaciones lineales

Sean V, W espacios vectoriales

sobre un campo F y sea T ∈ L(V,

W).

El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa

del vector nulo:

ker(T) := x ∈ V : T(x) = 0W

Llamamos imagen de FF al conjunto de vectores de WW que son imagen de algún vector de VV.

La imagen es

un subespacio de W.

Representacion Matrical

Sea T: V → W una

transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0,

0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0) , …, en = (0, 0, 0,

…, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, …, en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) =

w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, …, T(en) = wn. Llamamos a AT la matriz cuyas

columnas son w1, w2, w3, , wn. Entonces

a la matriz AT se le llama la representación matricial de T.

Aplicaciones

Reflexión

Expansión

Contracción

Rotación

Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio

euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del

conjunto de puntos dado.

La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como

realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de

puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser

expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección

de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el

punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el

punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la

dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

La rotación se realiza para un

cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación

puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las

manecillas del reloj.

Gallardo Torres

Vásquez Gómez