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Unidad ll

Calculo diferencial

Función

Se llama función de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento de A le corresponde un único del conjunto B

Dominio

Conjunto de valores que toman la variable independiente

Rango

Conjunto de valores que toman la variable dependiente

Fórmulas

Explícita

Implícita

Cuando tiene la forma y=f(x)

y=2x

Cuando tiene la forma F(x,y)=0

3x+y-5=0

Notación de conjuntos

Por numeración o extensión

Por propiedad o comprensión

Se indica con una formula l propiedad que cumplen los pares (x,y)

f={(x,y)/y=2x

Se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la función

f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}

Funciones dadas por tablas

Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas y difíciles de manejar

Diagrama de venn

Es una forma de representación cuando los valores son pocos

Gráficas de funciones

f(x)={|x| si x<0

1 si x=0

|x| si 0<x<2

1 si x≥3

La gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función

Tipos de funciones

Dominio o campo de existencia

Se refiere al conjunto de todos los números reales que se le puede dar al eje de las x (independiente). Se representa mediante Dom (f)

Recorrido de una función

El recorrido o imagen de la función es el conjunto de valores que toma la función se representa por lm (f) o Rec (f)

Funciones logarítmicas

Funciones racionales

Funciones irracionales

Funciones polinómicas

El dominio es R ya que para todo valor real de la variable x puede calcularse el correspondiente valor y

El dominio está formado por todos los números reales excepto por aquellos que anulan el denominador

f(x)=4x/x-2

Debido a que solo tienen sentido los logaritmos de números positivos, resulta:

Si n es par

Dom(f)={xE Dom(g) g(x)≥0}

-f(x)=x

Dom(f)=R

-g(x)=3x-2

Dom(f)=R

-h(x)=x²-3x+5

Dom(f)=R

El denominador de f se anula cuando x-2=0, es decir x=2 por lo tanto Dom(f)=R-{2}

f(x)=log⁵(x-3)

Para f(x) resolvemos la inecuación x-3>0 es decir x>3. Por lo tanto Dom(f)=(3,∞)

Si n es impar

Dom(f)=Dom(g)

Al ser una función par, x-5≥0

x≥5

Dom(f)=[5,∞)

Al ser in par la función x²-5 por lo tanto

Dom(h)=R

Calcular el recorrido de una función

Para hallar el recorrido de una función hacemos lo siguiente

1.-Igualamos f (x)= y

2.-Despejamos la variable x

3.- Estudiamos el dominio de la nueva función

Función sobreyectiva

Función biyectiva

Funcion inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final "Y" tiene como máximo un elemento del conjunto inicial "X" al que le corresponde

Sí f(x)=f(y) entonces x=y

La función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto final "Y" tiene al menos un elemento del conjunto inicial "x" al que le corresponde

Para cada y de y, existe al menos un x en x tal que f(x)=y

Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva

f(x)=2x

f(x)=f(y)

2x=2y

x=y

Por ende es Inyectiva

Recf={f(x)/x es real}={2x/x es real}=R

También es sobreyectiva por lo tanto la función f es biyectiva

Teorema de sobreyectividad

Dada la función f donde f:A→B, con A c R y B c R, se dice que f es sobreyectiva si el rango o imagen de f (es decir el conjunto B) coincide con el conjunto de llegada (ref(f))

Es decir:

f es sobreyectiva si y solo si Ref=B

f(x)=2x+1

f(y)=2x+1

f(x)=f(y)

2x+1=2x+1

2x=2x+1-1

2x=2y

x=2y/2

x=y

Álgebra de funciones

Operación con funciones

Sean f y g funciones condominios A y B. Entonces las funciones

f+g, f-g, fg, f/g.

(f+g)(x)=f(x)+f(g)

Dom. A ∩ B

(f-g)(x)=f(x)-f(g)

Dom. A ∩ B

(fg)(x)=f(x)g(x)

Dom A ∩ B

(f/g)(x)=f(x)/g(x)

Dom. {x £ A ∩ B|g(x)≠0}

Suma

Resta

Multiplicación

División

f(x)=9x-5

g(x)=4x+1

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(9x-5)+(4x+1)

9x+4x-5+1

13x-4

Al ser un polinomio su dominio son todos los reales.

Dom(f+g)=Dom(f)∩Dom(g)

=R ∩ R

=R

f(x)=5x+6

g(x)=3x²-4x+8

(g-f)(x)=g(x)-f(x)

(3x²-4x+8)-(5x+6)

3x²-4x+8-5x-6

(g-f)(x)=3x²-9x+2

f(x)=2x+1

g(x)=5x-3

(fg)(x)=f(x)g(x)

(2x+1)(5x-3)

10x²+5x-6x-3

(fg)(x)=10x²-x-3

f(x)=12x³+15x²-6x

g(x)=3x

(f/g)(x)=f(x)/g(x)

12x³+15x²-6x/3x

3x(4x²+5x-2)/3x

1(4x²+5x-2)

(f/g)(x)=4x²+5x-2

Composición de funciones

Al ser un polinomio su dominio son todos los reales

Dom(f/g)={x|x € Dom(f) ∩. Dom(g) con g≠0}

Dom(f) ∩ Dom(g)=R ∩ R

=R-{0}

Es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x

f:x/→y →z

x→y=f(x)→z=(g o f)(x)=g[f(x)]

Calcular la función impuesta de

f(x)=x+1

g(x)=x²+2

(g o f)(x)=g[f(x)]=g(x+1)=(x+1)²=x²+2x+1+2=x²+2x+3

(g o f)(x)=x²+2x+3

Propiedades

1.-La compasión de funciones es asociativa

f o (g o h)=(f o g) o h

2.-La compasión de funciones no es conmutativa

f o g≠g o f

3.-El elemento neutro en más funciones compuestas es la función identidad (id)

f o id=id o f=f

4.-La función inversa de la composición de funciones f y g

(g o f)-¹= f-¹ o g-¹