conjuntos numericos

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos permiten representar diversas situaciones del entorno, tales como: la cantidad de elementos que tiene un conjunto (los naturales), las partes de una unidad (los racionales), la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 (los irracionales) o diversas cantidades o entes físicos que están compuestos por una parte real y otra imaginaria (los complejos).

números enteros

Número racional

Números irracionales

números naturales

Números imaginarios

Números fraccionarios

Número complejo

Números reales

Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar y pertenecen al conjunto de números enteros positivos.

El conjunto de los números naturales se representa por N y está formado por: N= 1,2,3,4,5,6,7,8,9...

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Q={1/2, -1/2,0.25, 0.333....}

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero.

En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.

Un número complejo z se define como un par ordenado de números reales:

z=(a,b) con a,b ∈ R

donde el primer elemento del par ordenado se llama parte real del número complejo, y el segundo elemento se llama parte imaginaria:

Re(z)=a

Im(z)=b

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero

existen 2 tipos de números naturales

ordinales

cardinales

ejemplo:

Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto, 1° lugar, 2°lugar, 3° lugar

ejemplo:

el numero de planetas del sistema solar es 8

Enteros positivos o números naturales

Enteros negativos

Cero {0}

1,2,3,4,5,6,7,8,9

-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9

Suma y resta

Multiplicación de números racionales

División de números racionales

El resultado de dividir dos números racionales es de nuevo un racional cuyo numerador se obtiene multiplicando los extremos y el denominador de multiplicar los medios

5/7:1/6= 5.6/7.1= 30/7

La suma (resta) de números racionales se realiza en función de sus denominadores: si tienen el mismo o diferente denominador.

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplos:

5/7+1/7= 6/7

Ejemplos:

5/4 – 1/6 = 15 – 2 / 12 = 13/12

Propiedades de la suma de números racionales

Interna

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

La suma de números racionales es de nuevo un número racional

Sumar los dos primeros números y al resultado añadir un tercer número, es igual a que al primer número se le añada el resultado de la suma del segundo con el tercer número

Si se intercambian los sumandos, el resultado es el mismo

Existe un elemento tal que al sumarlo con un número el resultado sigue siendo el mismo número

Todo número racional posee un opuesto, tal que al sumar ambos el resultado es el elemento neutro

El resultado de multiplicar dos números racionales es de nuevo un racional cuyo numerador se obtiene de la multiplicación de los numeradores y el denominador de la multiplicación de los denominadores

Ejemplo:

5/4. 1/6= 5/24

Propiedades de la multiplicación de números racionales

Interna

Asociativa

Elemento neutro

Sacar factor común

Distributiva

Elemento inverso

Conmutativa

La multiplicación de dos racionales es un racional

Multiplicar los dos primeros números y al resultado multiplicarlo por un tercer número, es igual a que al primer número se le multiplique el resultado de la multiplicación del segundo con el tercer número

El resultado de una multiplicación se preserva al intercambiar los multiplicandos

Existe un elemento tal que al multiplicarlo con un número el resultado sigue siendo el mismo número

Todo número racional diferente de cero posee un opuesto, tal que al multiplicar ambos el resultado es el elemento neutro de la multiplicación

a.(b+c)= a.b+a.c

a.b+a.c= a.(b+c)

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Otros números irracionales

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

El número áureo, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

e= 2,718281828459...

o= 1+√5/2= 1,618033988749...

Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.

Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.

Unidad imaginaria

Números imaginarios

La unidad imaginaria es el número √−1 y se designa por la letra i.

La unidad imaginaria cumple que i^2= -1.

Se pueden realizar las operaciones conocidas con la unidad imaginaria.

Un número imaginario se denota por bi donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

ejemplo

Las raíces son

Operaciones de números reales

Valor Absoluto

Suma de números reales

Diferencia de números reales

Producto de números reales

División de números reales

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

unidad imaginaria i=(0,1),

forma binómica z=a+bi

Operaciones en forma binómica

Suma y resta

Multiplicación

Conjugado de un número complejo

División en complejos

-Toda fracción propia es menor que 1 y que cualquier fracción impropia.

-Si las dos son propias o las dos son impropias se aplica el procedimiento del producto cruzado.

Multiplicación

Para multiplicar expresiones decimales donde se calcula el producto como si los factores fueran números naturales y en el resultado se ubica la coma decimal contando a partir de la derecha tantos lugares decimales como haya en los dos factores juntos.

División

-La división se expresa como la multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor.

-Se resuelve la multiplicación indicada.

En el caso de que los factores sean fracciones, se simplifica si es posible y luego se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. También puede multiplicarse primero y después simplificar el resultado.

La multiplicación de números naturales y fraccionarios es conmutativa y asociativa, y al igual que en la adición, la aplicación de estas propiedades puede resultar ventajosa para el cálculo.