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Continuidad

Límite funcional

Límites laterales

Límites infinitos y en el infinito

Existen varias formas de definir el límite de una función en un punto. Nosotros vamos a utilizar sucesiones en la definición y así aprovechar todas las propiedades que hemos visto en el tema anterior. La definición de límite de una función con sucesiones va a tener siempre un aspecto similar al siguiente

lim x→a f(x) = b ⇐⇒ ( si lim n→∞ xn = a, entonces lim n→∞ f(xn) = b ) .

Para que esto valga como definición de límite, sólo tenemos que garantizarnos que existan sucesiones convergentes al punto donde tomamos límite. Recordemos que A 0 denota al conjunto de puntos de acumulación del conjunto A. Con todos estos ingredientes ya podemos dar la definición de límite de una función en un punto

Intuitivamente, para calcular limx→x0 f(x) tomamos valores cercanos a x0, calculamos su imagen por la aplicación f y vemos si se acercan a algún valor.

Sea A un subconjunto de R, f : A → R una función y x0 ∈ A 0 . a) Si x0 es un punto de acumulación de A − = {x ∈ A : x < x0}, se define el límite por la izquierda de f en x0 como lim x→x − 0 f(x) := lim x→x0 f|A− (x).

Asíntotas verticales

Como ya hemos comentado en la sección anterior, la definición de límite de una función con sucesiones siempre tiene el mismo aspecto: lim x→a f(x) = b ⇐⇒ lim n→∞ xn = a =⇒ lim n→∞ f(xn) = b . Hasta ahora hemos tomado a y b como el punto donde tomamos límite y como el valor del límite. Si admitimos que a y/o b sean ±∞, obtenemos la definición de límite infinito o en el infinito

Asíntotas horizontales

Continuidad

Ya que tenemos la definición de límite, podemos hablar de continuidad. Definición Sea f : A ⊂ R → R. La función f es continua en a ∈ A si lim x→a f(x) = f(a), Podemos expresar la continuidad utilizando sucesiones de manera similar a lo que hemos hecho con límites o de la forma “ − δ”.

Discontinuidades

Para que sí lo sea, debe existir el límite en dicho punto y coincidir con el valor de función. Por tanto, las discontinuidades se deben a alguno de estas dos causas: a) El límite lim x→a f(x) existe pero no vale f(a). En este caso decimos que la función presenta una discontinuidad evitable en a. El motivo es que si cambiamos el valor de la función en a por el del límite obtenemos una función continua

Álgebra de funciones continuas

Como sabemos el comportamiento de los límites con respecto a sumas, productos o cocientes, es fácil obtener un resultado similar para funciones continuas.

Sean f, g : A → R continuas en a ∈

a) f + g es continua en a

b) f g es continua en a,y

c) si g(a) 6= 0, f g es continua en a.

Carácter local de la continuidad

La continuidad de una función en un punto sólo depende del comportamiento de dicha función “cerca” del punto. Este hecho lo aplicamos sin darnos cuenta cada vez que estudiamos la continuidad de una función definida a trozos

La última posibilidad que nos queda es definir límites en +∞ o −∞. De nuevo empezamos con sucesiones. Sea A ⊂ R un subconjunto no acotado superiormente y sea f : A → R. a) Diremos que f tiene límite en +∞ y que vale L si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A que tienda a +∞ se cumple que {f(xn)} tiende a L.