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Métodos iterativos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Jacobi

Método de Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b

El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface.

Para verificar la convergencia del método se calcula el radio espectral (ρ):

p(D-1R)<1

es la condición necesaria y suficiente para la convergencia, siendo R = L + U . No es necesario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos (la matriz es diagonalmente dominante), pero en el caso de serlo, la matriz converge.

algoritmo

convergencia

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface.

Para verificar la convergencia del método se calcula el radio espectral (ρ):

p(D^{-1}R)<1

es la condición necesaria y suficiente para la convergencia, siendo R = L + U . No es necesario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos (la matriz es diagonalmente dominante), pero en el caso de serlo, la matriz converge.

convergencia

algoritmo