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DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar geométrico de la función, f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a y x = b. Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x.

Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x.

DIFERENCIACIÓN

Métodos de Integración Numérica

Dada una función f definida sobre un intervalo [a,b], estamos interesados en calcular

Integración interpolación polinomial

Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en cierto conjunto de nodos

Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de grado n=2 para interpolar a f, obtenemos la conocida regla de Simpson:

Regla del trapecio

Regla de Simpson

que es exacta para todos los polinomios de grado <=2 y curiosamente, exacta para todos los polinomios de grado <=3.

Si en la expresión empleamos polinomios de grado n=1 y tomamos como nudos x0=a y x1=b, tenemos el caso más sencillo posible, en donde los polinomios de interpolación son:

En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:

Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación

Esta expresión se conoce como regla del trapecio y proporciona un resultado exacto para todas las funciones de grado menor o igual a 1

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado

Diferencias centrales.