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Límites de funciones de dos variables

Cuando decimos que el límite de f es (Xo,Yo) es L, estamos diciendo que si se calcula f en un punto (x,y) cercano a (Xo,Yo), se obtendrá un valor que tal vez no sea L, pero que estará muy cerca de L. Estará más cerca, cuanto más acerquemos (x,y) a (Xo,Yo). La idea principal de la descripción es la distancia.

Definición del limite:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / 0 < √ (x - Xo)² + (y - Yo)² ➱ |f(x,y) - L | < ε

Demostración por definición

Necesitamos probar que, para cada ?>0, existe un ?-entorno (?>0) alrededor de (3,4) tal que |??−12|<? siempre que 0<√(?−3)2+(?−4)2<?. |?−3|<√(?−3)2+(?−4)2<? → |?−3|<? |?−4|<√(?−3)2+(?−4)2<? → |?−4|<?

En efecto: |??−12|=|??−3?+3?−12|=|(?−3)?+3(?−4)|≤|?||?−3|+3|?−4|

Vamos a acotar |?|. Se tiene que |?−4|<? → 4−?<?<4+?

Si consideramos ?<1, entonces 3<?<5. Como en este intervalo ? es positiva, entonces ?=|?|.

Entonces: |?|<5

Luego: |??−12|≤|?||?−3|+3|?−4|<5?+3?

|??−12|<8?

Como se debe cumplir que |??−12|<?, basta con asegurarnos de que 8?<?

Es decir, basta tomar ?<?8⁄ para que |??−12|<? siempre que 0<√(?−3)2+(?−4)2<?.

Queda demostrado que dicho límite existe y vale 12

Cálculo

Cuando la función ?(?,?) está definida en el punto dónde queremos estudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando se calcula el límite doble. En este caso, el límite doble existe y el valor al cual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función.

Cuando la función no está definida en el punto dónde queremos calcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcular el límite doble. En este caso, debemos aplicar algunos métodos para calcular el límite.

Límites por trayectorias

Se sabe que con funciones de dos variables, sólo existe dos posibles direcciones de aproximaciones, que es por la izquirda y por la derecha. En cambio con funciones de dos variables no ocurre lo mismo, por tal motivo existen infinitas direcciones de aproximaciones de trayectoria, mientras que permanezca en el dominio de la función.

Límite Direccional: Cuando la trayectoria de aproximación al punto (?0,?0) es una recta de la forma ?=??+?, que pasa por dicho punto. Al límite de ?(?,?) en (?0,?0) se llama límite radial o direccional. Si el punto (?0,?0) es el origen del sistema de coordenadas, la ecuación de la recta quedaría ?=??

Límite a lo largo de una curva: Si ? es una curva que pasa por el punto (?0,?0), al límite de ?(?,?) en (?0,?0) se llama límite a lo largo de la curva ?.

Limites Iterados

Propiedades

Si existe el límite de la función (imagen), entonces cualquiera de los límites reiterados que exista debe tener este valor.

Puede que alguno de los límites reiterados o ambos no existan y sí que exista el límite de la función

Si los límites reiterados existen pero son diferentes, entonces el límite de la función en el punto no existe

Si los límites reiterados existen y son iguales, esto no implica que el límite de la función en el punto exista

Límies en Coordenadas Polares

Es representar las variables x e y las ecuaciones de equivalentes entre la representación de coordenadas polares. definimos el acercamiento al punto (0,0) mediante la resolución del límite en la variable r. Al dejar la variable angular θ sin tratamiento en el cálculo, se contemplan todas las trayectorias posibles de acercamiento.