Matrices

Matrices

1. definición

   • Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

2. tipos de matrices

   • una columna
     • es aquella a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx1)
   • cuadrada
     • cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (nxn)
   • triangular superior
     • todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.
   • triangular inferior
     • En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
   • diagonal
     • En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
   • escalar
     • Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

3. operaciones

   • Suma de matrices
     • Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden mxn, se llama matriz suma de A y B y se denota por A+B
       • Propiedades.
         • a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A,
   • Multiplicación y división de Matrices
     • Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, A · B, es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. En tal caso, el producto A · B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda
   • Producto de matrices entre sí
     • Dadas dos matrices A∈Emxp y B∈Epxn (es decir, el número de filas de B coincide con el número de columnas de A), se llama matriz producto de A y B a otra matriz, que se denota como A⋅B,
   • Producto de matrices por un escalar
     • Sea A = (aij) una matriz de orden mxn y α un número (con frecuencia llamado escalar). Se define el producto del escalar α por la matriz A y se denota por αA a una matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de A por α. La matriz αA es por lo tanto una matriz de la misma dimensión que A.
   • Potencias de matrices cuadradas
     • Las potencias de matrices cuadradas son un caso particular del producto de matrices. Se llama potencia p-ésima (p∈z+) de una matriz cuadrada A a la matriz que se obtiene multiplicando A p veces por sí misma.

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