Integrales

Integrales

1. Integral como antiderivada

   • Una función F(x) es una antiderivada de una función f(x) si se cumple que F(x) = f(x).
     • Ejemplo:
       • Las funciones F(x) = 3x2 + 2x + 8 y f(x) = 3x2 + 2x + 5 son antiderivadas de la función f(x) = 6x + 2, ya que al derivar ambas funciones se va a obtener dicho resultado, de tal manera que una función puede tener una infinidad de antiderivadas.
   • Por el teorema de valor medio, se obtiene que dos funciones tienen la misma derivada en un intervalo, entonces, dichas funciones solo difieren en una constante.

2. Integral definida

   • Se puede expresar por medio del área bajo la curva de la función. Hay que tener en cuenta que si el límite existe, entonces la integral toma un valor único, dando un número real el cual puede ser tanto positivo como negativo.
     • Si se da que la función es positiva en el intervalo el resultado representa el área bajo la curva de f(x).
       • Los números a y b son conocidos como límites de integración, en donde a es el límite inferior y b es el límite superior.

3. Métodos de integración

   • En la mayoría de integrales no es suficiente aplicar las fórmulas de las integrales inmediatas ni las propiedades de la integral indefinida para encontrar su respuesta, es por eso que se suelen utilizar diferentes métodos de integración.
     • Integración por sustitución
       • Este método consiste en introducir una variable a que sustituya una expresión apropiada en función de la variable del integrado, de tal forma que la integral pueda transformarse en otra integral de variable a más sencilla de integrar.
         • Se elige a para sustituir a la expresión apropiada, suele ser la función interna de la función compuesta. Luego se deriva a con respecto a la variable del integrado escribiéndose como diferencial. Luego se expresa el integrado en términos de a y se calcula la integral. Por último se obtiene el resultado, reemplazando la a por la expresión inicial.
     • Integración por partes
       • Se utiliza para resolver integrales de un producto de funciones, en donde una de ellas es la derivada de una función conocida y la integral original se transforma en otra más sencilla
         • Primero se escogen a y bc, luego se deriva a para encontrar bc, después se integra bc para determinar c, por último se aplica la fórmula de integración por partes solucionando la integral indicada.

4. Primer teorema fundamental del cálculo

   • Expresa concretamente la relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
     • Segundo teorema fundamental del cálculo
       • Este teorema es considerado como la segunda parte del teorema del cálculo, ya que se utiliza para evaluar la integral definida de una función. El método para calcular la integral definida es conocido como regla de Barrow
         • Primero se determina F(x) de tal manera que F’(x) = f(x). Luego se calcula F(b) – F(a), evaluando F(x) en a y b, hallando F(a) y F(b), dicho valor corresponde a la integral definida indicada.

5. Área entre curvas

   • Para hallar las áreas de regiones limitadas por curvas que representan funciones es necesario aplicar un proceso que se fundamenta en el concepto de límite y aplicación de cálculo integral.
     • Para hallar las áreas de regiones limitadas por curvas que representan funciones es necesario aplicar un proceso que se fundamenta en el concepto de límite y aplicación de cálculo integral.

6. Área entre curvas

   • Hasta ahora se ha considerado regiones en el plano limitadas por una sola función, pero, de la misma manera, se pueden calcular áreas de regiones las cuales están limitadas por dos o más funciones.
     • Si f(x) y g(x) son dos funciones continúas en el intervalo [a, b] de tal manera que f(x) ≥ g(x), entonces, se tiene que el área de la región limitada por las curvas y = f(x) y y = g(x), y las rectas x = a, x =b está dada por A = ∫(f(x)-g(x)) dx