LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. una función

   • es la relacion que existe entre dos conjuntos que son
     • dominio
       • conjunto de valores definidos a partir de numeros reales
     • codominio
       • conjunto donde están
         • imagenes
     • con la condición de que cada elemento del dominio le corresponda un elemento del codominio

2. tiene conceptos como

   • diferencial
     • es el incremento de la función multiplicada por
       • la derivada
         • es la razón de cambio instantánea con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.
   • integral
     • es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua.
       • puede ser
         • integral definida
           • de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
         • integral indefinida
           • F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
     • Es la operación inversa a la derivada.
   • limite
     • El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo)
       • Si el límite de una función f en un valor a es igual a b, se escribe de esta manera:
         • limf(x)=b x→a
         • REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA
     • con respecto a la continuidad
       • continua
         • el valor del límite tiende al valor de la función en el punto. Es decir, una función es continua en el punto a, si se cumple que:
           • limf(x)=f(a) x→a
       • discontinua
         • son puntos en los que la gráfica se "rompe". Dicho de otra manera, una función es continua si puede dibujarse de un solo trazo.
           • REPRESENTACIÓN GRÁFICA

3. ejemplo y representación

   • f(x)=1/x-2
     • Como es una función racional, el dominio es todos los reales excepto los valores para los que se anula en denominador (no se puede dividir entre 0), es decir, el dominio es
       • R={-2}
         • graficamente se ve asi:
         • el punto donde se anula el denominador la función crece (o decrece) hacia infinito.
           • lim f ( x ) = − ∞ x → 2− lim f ( x ) = + ∞ x → 2+

4. un poco de historia y personajes

   • PERIODO CLÁSICO
     • Se basa en la noción de infinito potencial, la falta de un sistema de numeración adecuado y la discretización.
       • Método de exhaución
         • Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes en la cuadratura de la parábola.
         • se aplicaba al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de curvas, tangentes a las curvas, etc.
         • Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada.
     • REVOLUCIÓN CIENTÍFICA
       • se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos, aunque con falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos.
         • Leibnitz (1646-1716)
           • contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias.
             • Usa una notación que perdura actualmente, pero no aclara lo que, para él significa “infinitamente pequeño”. Para peor, a veces habla de "infinitamente, infinitamente pequeño"
         • Newton (1648-1727)
           • Propone el método de las fluxiones donde se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo denominadas fluentes.
             • Todas las fluentes son variables dependientes y tienen un argumento común, el tiempo. Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, que se denominan fluxiones.
       • FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL
         • Los matemáticos del siglo XVIII, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite
           • D'Alembert (1717-1783)
             • crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton
               • “Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable.”
         • A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último
           • Weierstrass (1815-1897)
             • contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una definición satisfactoria del concepto de límite
               • "Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0, la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0".

5. intervención en fenómenos cotidianos

   • "El interior de un átomo, las cambiantes poblaciones de la vida salvaje, el clima, todo eso puede explicarse mediante el lenguaje del cálculo. De alguna manera este lenguaje: es la mejor herramienta que jamás hayamos inventado"
   • fisica
     • la expresión común de la segunda ley de Newton como fuerza=masa*aceleración involucra el cálculo diferencial, porque la aceleración puede ser expresada como la derivada de la velocidad.
   • biología
     • Las ecuaciones de Maxwell en su teoría del electromagnetismo, la teoría de la relatividad general de Einstein y la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica están también.
   • quimica
     • usa el cálculo para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo
     • movimiento
       • las naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas dentro de entornos de gravedad cero.
       • crecimiento
         • muchos aspectos del desarrollo morfológico de los organismos pueden predecirse a partir de modelar señales genético-químicas como ecuaciones diferenciales de reacción-difusión.
         • geometría analitica
           • el estudio de los gráficos de funciones, el cálculo es usado para encontrar puntos máximos y mínimos, la tangente, así también como para determinar la concavidad y los puntos de inflexión.

Images and files in the map