Matrices

Matrices

1. Una matriz un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. Estos elementos pueden ser numeros reales, complejos, funciones, etc. y se acostumbran a colocar entre corchetes.

   • Notacion: una matriz se denota por letras mayuscula y sus elementos por letras minuscula seguidas de dos subindices i,j, la i indica la fila y j la columnas.
     • Tamaño u Orden de una matriz: Es el numero de elementos que posee la matriz, esto biene definido con el numero de columnas y filas.

2. TIPOS DE MATRICES

   • Matriz cuadrada: Es aquella donde el numero de fila y columnas es igual. M=N
     • Matriz fila o vector fila: Es aquella que posse una sola fila.
       • Matriz columnas o vector columna: Es aquella que posee una sola columna.
         • Matriz nula: Es aquella cuyos sus elementos son iguales a cero.
           • Matriz iguales: Dos matrices son iguales si sus elementos correspondiente son iguales.
             • Matriz opuesta: Son aquellas matrices cuyos elementos correspondientes son opuesto.
               • Diagonal Principal y Diagonal Secundaria de una Matriz Cuadrada: Se llama diagonal principal de una matriz cuadra a la linea definida por los elementos a(ij) donde i=j es decir a11,a22,a33...,ann. Y diagonal secundaria a la linea definida por los elementos a(ij) donde i+j=n+1; es decir a1n,a2(n-19,a3(n-2).....,an1.
                 • Traza de una Matriz: es la sumatoria delos elementos de la diagonal principal.

3. OPERACIONES CON MATRICES

   • OTROS TIPOS DE OPERACIONES DE MATRICES
     • Dependencia Lineal de las Filas y Columnas de una Matriz: Una fila o columna de una matrizes lineal mente dependiente de otra cuando se una combinacion de la misma
     • Matriz Equivalente: Dos matriz son equivalentes si una es obtenida de la otra mediante una o mas trasnformaciones elementales. Las matrices euqivalente tienen el mismo orden e igual caracteristica.
     • Matriz Ortogonal: Una matriz es ortogonal, si AAt= At A= I.
     • Combinacion Lineal de las Fila y Columnas de una Matriz: Se llama combinacion lineal de varias filas y columnas de una matriz, a otra fila o columna que resulta de la sumar sus elementos despues de multiplicarlos por cirtos numeros llamadaos coeficientes.
     • Calculo de la Inversa de una Matriz de 2do. Orden: Para esto se tiene que proceder de la siguiente manera: 1. Se determina la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y de la diagonal secundaria. si es diferente de cero tiene inversa y de lo contario no tiene inversa. 2. Se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambian los signos de los elementos de la diagonal secundaria en la matriz dada. 3. Se divide cada elemento de la matriz anterior obtenida entre la diferencia obtenida en el paso 1; siendo este el resultado la inversa de la matriz.
     • Matriz Antisimetrica: Es aquella matriz que todos llos elementos de la diagonal principal son iguales a cero y los elementos de equidistan de ellas son opuesto.
     • Matriz Normal: Una matriz es normal si conmta con su opuesta, esto es AAt= At A.
     • Matriz Transpuesta(At): Es la matriz que se obtiene al intercambiar las fila por las columnas y las columnas por filas
       • Propiedades que cumple la transposicion de Matrices: 1.(At)t=A 2. (A+B)t= At+Bt 3.(kA)t=kAt si k es un escalar 4. (AB)t=Bt At
     • Independencia Lineal de las Filas y Columnas de una Matriz: Varias filas o columnas de una matriz son lineal mente independiente, o no existe una relacion lineal entre ellas, cuando ninguna se puede expresar como combinacion lineal de las otras.
     • Matriz Simetrica: Es la matriz cuyos elementos equidistan de la diagonal principal.
     • Inversa de una Matriz A-1: Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz B tal que AB=BA=In. siendo In la matriz identidad. Bajo esta condicion la matriz B se llama inversa de A y se escribe B=A-1 y de igual manera A=B-1. No todas las matrices tienen inversa y se llaman Matriz Singular, pero si tienen inversa es unica y se llaman Matriz no Singular.
       • Propiedades de la inversa de Matrices: 1. (A-1)-1= A 2. (AB)-1=B-1 A-1
     • Rango o Carateristica de una Matriz: E s el numero maximo de filas o columnas linealmente independiente que posee la matriz. Si una fila o columna de la matriz es una combinacion lineal de otra paralelas a ella, al suprimirla se obtiene otra matriz de igual caracteristica.
     • Matriz Ampliada: Es aquella que resulta al agregar por la deracha, a una matriz dada, otra matriz de igual.
     • Transformaciones u Operaciones Elementales en una Matriz: Estas son operaciones que se realizan sobre las filas o columnas de una matriz sin alterar ni su orden ni su caracteristica o rango. las tres transformaciones elementales son: 1. Intercambio de dos fila o columnas. 2. Multiplicar una fila o columna por un escalar diferente de cero. 3. Sumar a una fila o columna una o mas filas o columnas previamente multiplicada por un escala diferente de cero.
     • Matriz Elemental E: Una matriz cuadrada se denomina Matriz Elemental, si se puede obtener a partir de la matriz identidad In mediante una sola trasnformacion u operacion elemental.
     • Matriz Escalonada: Una matriz esta de forma escalonada si cumple las siguientes condiciones: 1. Todas las filas que consistan solo de ceros ( si existe) estan en la parte inferior de la matriz. 2. El primer elemento no nulo ( distinto de cero) de cada fila, llamado PIVOTE, esta a la derecha del pivote de la fila anterior. Esto supone que todos los elementos debajo son ceros.
     • Calculo de la Inversa de una Matriz ( Metodo de Gauss) : Si una matriz tiene inversa, esta se calcula mediante el siguiente metodo: 1. Se amplia la matriz dada con la matriz correspondiente. 2.Se determina la caracteristica de la matriz ampliada y si esta es igual al orden de la matriz, entonces tiene inversa. En este caso contrario no tiene inversa. 3. Si la matriz tiene inversa, se trasnforma la matriz que ocupa el espacio de la matriz dada en une matriz unidad mediante el uso de las trasnformaciones elementales, siendo la matriz que ocupa el espacio de la matriz unidad original la matriz inversa deseada.
     • Matriz en la Forma Escalonada Reducida: Una matriz esta en la forma escalonada reducida si, ademas de las dos condiciones, anteriores cumple las siguientes condiciones: 1. Sus pivotes son todos iguales a 1. 2. En cada fila el pivote es el unico elemento no nulo de la columna..
     • Calculo del Rango o Caracteristica de una Matriz: Este se obtiene mediante el uso de las trasnformaciones u operaciones elementales correspondiente, pero tenemos que tener en cuenta que las filas nulas no se toman en cuenta.
   • Adicion o Suma: Para sumar dos matrices, tiene que ser del mismo orden, siendo el resultado otra matriz del mismo orden.
     • Propiedades de la suma de matrices: Sea M(mxn) el conjunto de todas las matrices mxn. 1. Para toda matrices A,B pertenece M(mxn) se cumple que A+B pertenecen M(mxn). La suma de matrices se cumple la propiedad de cerradura o clausurativa. 2. Para tosa matriz A pertenece M (mxn) existe la matriz 0 pertenece M(mxn) tal que A+0=0+A= A siendo 0 pertenece M(mxn) la matriz nula que es la identidad o neutro para la suma de matrices. 3. Para todas matrices A,B pertenece M(mxn) se cumple que A+B= B+A. e decir que la suma de matrices es conmutativa. 4.Para todas matrices A,B,C pertenece M(mxn) se cumple que (A+B)+C=A+(B+C). Esdecir que la suma de matrices es asociativa. 5.Para todas matrices A pertenece M(mxn) existe -A pertenece M(mxn) tal que A+(-A)=0 pertenece M(mxn). la matriz -A se llama matriz opuesta o inversa de A.
   • Resta o Diferencia: Para restar dos matrices, que sean del mismo orden, se suma la matriz minuendo con la matriz opuesta sustraendo.
   • Producto de una Matriz por un Escalar: Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz.
     • Propiedades de la Multiplicacion de una Matriz por un Escalar : Sean A,B pertenecen M(mxn) y k,t pertenecen R, entonces se cumple lo siguiente: 1. K.A pertenece M(mxn). 2. K.(T.A)=(K.T).A 3.K.(A+B)= K.A+K.B 4.( K.T).A=K.A+T.A 5.1.A=A
   • Multiplicacion de Matrices.
     • Producto de una Matriz fila por una Matriz columna: El producto de multiplicar una matriz fila por una matriz columna, donde el numero de columnas de A es igual al numero de fila de B es la matriz.
     • Producto de dos matrices cualesquiera: Para multiplicar dos matrices cualquiera es necesario que el numero de columnas de la primera matriz factor sea igual al numero de filas de la segunda matriz factor siendo la matriz producto de orden igual al producto indicado entre el numero de fila de la primera matriz y el numero de columnas de la segunda matriz.
     • Potencia Entera de una Matriz Cuadrada: Si queremos obtener una potencia entera de la matriz A solo tenemos que multiplicar por si misma cuanta veces como lo indica la potencia.
     • Propiedades de la Multiplicacion de Matrices: Sea A,B,C matrices conformes con la multiplicacion; es decir que esta definidas la multiplicacion entre ellas: 1. A(BC)=(AB)C 2. A(B+C)=AB+AC 3.(A+B)C=AC+BC 4. AB distinto BA 5. AB=0 6.AB=AC no aplica necesariamente que B=C 7. (A+B)2= A2 + AB +BA+B2

4. OTROS TIPOS DE MATRICES

   • Matriz Diagonal: Es aquella cuyos elementos que no estan en la diagonal principal son iguales a cero.
     • Matriz Escalar: Es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a una constantes
       • Matriz Identidad o Unidad( In): Es la matriz escalar cuyo elemento de la diagonal principal es igual a la unidad positiva ( 1 ).
         • Matriz triangular: Es la matriz cuadrada cuyos elementos por encima y debajo de la diagonal principal son igual a cero.
           • Matriz Triangular superior: es aquella cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Matriz triangular Inferior: Es aquella cuyos elementos por encima de la diagonal principal son cero.