-CALCULO INTEGRAL-

-CALCULO INTEGRAL-

1. METODOS DE INTEGRACION.

   • Directa: Los casos en los que se encuentran expresiones simples de integrar se hacen de manera directa por medio de la siguiente fórmula (teniendo en cuenta siempre las propiedades de la integración explicadas en el título a la derecha) Ejemplo: ∫(4x^3)dx = x^
   • Mediante manipulación aritmética. En casos más complejos en los cuales se puedan usar trucos aritméticos para simplificar el proceso de integración, se realizan los procesos algebraicos necesarios para facilitar el desarrollo del ejercicio. Ejemplo: ∫(3x + 3)^2 dx = ∫((9x^2) + 12x + 9)dx = (3x^3) + 6x^2 + 9x En este caso se resolvió el binomio cuadrado para dejar la expresión en términos de suma y simplificar el proceso de integración.
   • Mediante el uso de identidades trigonométricas: Si no son fáciles de resolver las funciones al momento de integrar, es importante tener presentes las identidades trigonométricas para transformar la función en una que sea más sencilla de integrar Identidades: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2 Ejemplo: ∫(sinx/cscx + cosx/secx) dx = ∫(sinx / (1/sinx) + cosx / (1/cosx))dx= ∫(sin^2(x) + cos^2(x)) dx = ∫1 dx = x+k
   • Sustitución: Existen casos en los que mediante ninguna de las formas mencionadas anteriormente se logra llegar a una expresión simplificada para poder integrar fácilmente. En estos casos se puede usar la sustitución como método de solución. Este consiste en coger una parte de la función y darle nombre "u" para simplificar la expresión, resolverla, y volver a reemplazar por el valor original una vez llegada a una respuesta. Ejemplo: ∫(sinx cosx)dx = u=sinx ; sustituir du=cosx dx ∫(u)du = (u^2)/2 + k ; Reemplazar variable ∫(sinx cosx)dx = sin^2(x) / 2 + k
   • Se entiende por métodos de integración cualquiera de lasdiferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicascuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar unafunción F(x) tal que.F(x)=Sf(x)dx lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar unafunción F(x) tal que f(x) es su derivada

2. FUNDAMENTOS.

   • El Cálculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento más efectivo para la investigación científica que jamás hayan producido las matemáticas. Concebido para el estudio del cambio, el movimiento y la medición de ´áreas y volúmenes, el cálculo es la invención que caracteriza la revolución científica del siglo XVII.
   • Su creación se debe al trabajo independiente de dos matemáticos, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) El cálculo se desarrolló a partir de las técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el cálculo de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. El problema básico del cálculo es, para Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones
   • Newton y Leibniz contribuyeron en el adelanto de la fundacion del teorema fundamental del calculo en donde el calculo de derivadas se puede usar para comprobar integrales

3. DEFINICION.

   • El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
     • ANTONIO DE JESUS MARTINEZ LAVARIEGA MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION. MAPA MENTAL CALCULO INTEGRAL. 1 AD LIC. EN ADMINISTRACION

4. USOS EN LA ADMINISTRACION

   • Las integrales en la administración muestran un grado de importancia para el desarrollo, ya que muestran la evaluación tanto de productores como de consumidores para una empresa. se puede llegar a determinar el presupuesto de un artículo o bien, a través de su utilidad o valor, viendo desde un punto de vista que este depende de la cantidad de dinero que el consumidor esté dispuesto a pagar por el producto que se esté ofreciendo en el mercado, o el valor monetario que el productor este asignando para vender el producto o bien.

5. APLICACIONES MATEMATICAS

   • El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

6. APLICACIONES FISICAS.

   • Muchas leyes de la Física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral. Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:
     • v=-gxt
       • El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba. Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral

7. FORMATOS.

   • Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con x O x1 que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.23 Para indicar summa (ſumma; en latín ‘suma’ o ‘total’), adaptó el símbolo integral, «∫», a partir de una letra S alargada porque consideraba a la integral como una suma infinita de addendas(‘sumandos’) infinitesimales. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819-20, reimpresa en su libro de 1822.45 Existen ligeras diferencias en la notación del símbolo de la integral en la literatura.

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