Funciones. Características

Funciones. Características

1. Funciones

   • FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
     • Con un enunciado
       • «Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €».
     • Con una expresión algebraica
       • La función se indica a través de una expresión algebraica que asocia a cada valor de x un único valor de y. Se representa mediante y = f (x), que se lee «y es función de x».
       • La expresión algebraica del enunciado anterior es y = 20x.
     • Con una tabla de valores
       • La función viene dada mediante una tabla de valores, es decir, a través de pares de valores de las variables x e y: (x , y).
     • Con una gráfica

2. Dominio y recorrido. Puntos de corte con los ejes

   • DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
     • dominio
       • de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).
     • recorrido o imagen
       • de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
   • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS
     • Corte con el eje X
       • f (x) = 0 ⇒ Puntos de corte con el eje X: (x , 0)
     • Corte con el eje Y
       • x = 0 ⇒ y = f (0) → Punto de corte con el eje Y: (0 , y)

3. Signo de una función

   • Positiva
     • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X
   • Negativa
     • Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa
   • Nula
     • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.

4. Continuidad, periodicidad y simetría de una función

   • CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
     • continua
       • si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.
     • discontinua
       • si la gráfica presenta alguna interrupción o salto.
         • Discontinuidad evitable
           • No existe función en ese punto
           • Punto desplazado
         • Discontinuidad inevitable
           • Salto finito
           • Salto infinito
   • PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN
     • periódica
       • si su gráfica se repite cada cierto intervalo de la variable x.
   • SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
     • Simetría respecto al eje de ordenadas
     • Simetría respecto al origen de coordenadas

5. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos

   • CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
     • Creciente
       • Una función es creciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, se incrementa el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≤ f (b)
     • Decreciente
       • Una función es decreciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≥ f (b)
     • Constante
       • Una función es constante en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, la función no crece ni decrece, es decir, si, para cualquier valor, x, entre a y b, se cumple que f (a) = f(x) = f (b)
   • EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
     • Máximo y mínimo relativos
       • Una función tiene un máximo relativo en el punto x = a al pasar, en dicho punto, de ser creciente a decreciente. El valor de la función en ese punto, f (a), es mayor que en los puntos de su entorno.
       • Una función tiene un mínimo relativo en el punto x = a al pasar, en ese punto, de ser decreciente a creciente. El valor de la función en ese punto, f (a), es menor que en los puntos de su entorno.
     • Máximo y mínimo absolutos
       • El máximo absoluto de una función es el máximo relativo que alcanza el mayor valor de la función.
       • El mínimo absoluto de una función es el mínimo relativo que alcanza el menor valor de la función.

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