Funciones Vectoriales De Una Variable Real

Funciones Vectoriales De Una Variable Real

1. Definición

   • Transforma un número real en vector
     • La intersección de los dominios es el dominio de la función
       • Representación Gráfica
   • x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

2. Límites

   • Cuando se presenta la función F(t)= x(t), y(t) y z(t).
     • Esto quiere decir que cuando t tiende al valor de a, el vector F(t) se acerca al vector I. Por lo cual para que exista el límite de la función debe existir el límite de las funciones componentes

3. continua

   • cuando
     • Sea F t : A → Rn y a un punto de acumulacion de A ⊆ R. Análogamente a la definición utilizada para funciones escalares diremos que F t es continua en a sí y sólo si: - Existe el vector F a - Existe el limt→a F t - limt→a F t = F a
     • Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.

4. Propiedades

   • 1. Adición y sustracción d/dt(r(t)+-s(t)=r´-+s´(t) 2.Producto por un escalar d/dtCr(t)=C r´(t) 3.Producto por una función escalar d/dr(f (t) r (t)=f´(t)r(t)+f(t) r'(t) 4. Producto Escalar d/dr (r(t)*s(t)*s(t)+r(t)*s'(t) 5. Producto Vectorial d/dr(r(t)x s (t) =r'(t)x s(t) + r(t)xs'(t)
     • teorema
       • ll r(t) ll es constante si y solo si r'(t) son ortogonales para todo t.

5. Integración

   • antiderivada
     • F′(t) = f (t)
   • Indefinida
     • Si F (t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se define como {f (t) dt = F (t) + c donde C es vector constante unitario
   • definida
     • Para la función vectorial f (t), se define la integral definida de la misma
   • teorema
     • (Regla de Barrow) Supongamos que F (t) es una antiderivada de f (t) en el intervalo [a,b]

6. longitud del arco

   • Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y

7. vectores

   • Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.
     • Tangente
       • Como ya lo vimos anteriormente, al vector F ′(t) también se le llama vector tangente a la curva F (t) en t, F ′ t = (f′ t , g′ t , h′(t)) y el vector T t =F ′(t)/|F ′ t | , es el vector tangente unitario
     • Normal
       • N t = B (t) × T (t) =[F ́ t × F′′ t ] × F′(t)/| F ́ t × F′′ t × F′ t |
     • Binormal
       • B = T t × N t =F ́ t × F′′ t/ |F ́ t × F′′ t|

8. curvatura

   • Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco. k = lldT/dsll

9. aplicado

   • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
   • CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL

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