Integracion

Integracion

1. El problema geometrico de hallar la iclinacion de una curva en un punto nos lleva al conspeto de la derivada de una funcion.

2. Eudoxo y Arquimides usan el metodo de exhausio para hallar las areas de un cierto numero de regiones planas concretas

3. Areas bajo curvas

   • Area bajo la curva y=f(x) en el intervalo [a,x]
     • F siempre es positiva entonces A[x] crece cuando x crece
       • El are bajo la curva de un intervalo [x,x+Suma de x]]
         • No pucde ser mayor que el área del rectángulo de lados Ar y f(r+ Az), y no menor que el área del rectángulo de lados Az y f(z). Por tanto, para todo Ar > 0, f(z) dr S A(z + Az) - A(z) < f(x + Az)Az
   • El razonamiento siguiente vale igualmente para Az < 0.) Consideramos qué ocurre con () cuando Az → 0. El intervalo (z, z + Az] se reduce al único punto z y, por la continuidad de f, el valor f(z + Ar) tiende a f(z ).
   • Newton
     • El cociente de Newton |A(z + Az) - A(z)|/Az, encajado entre (z} y algo que tiende a f(z).
   • Se llama antiderivada de f a toda función F tal que F'(z) = f(r) para todo z de un intervalo abierto. Nótese que siempre hay infinitas antiderivadas de f porque (d/dz)[F(z)+C] = F'(z) = f(z), para toda constante real C.

4. Que ocurre si f(x) tiene valores negativos en [a,b]

   • Consideremos el caso en que f es una función definida y continua en [a, b con f(z) <0 para todo z € (a, b].
   • La gráfica de f, el eje z, y las rectas z = a yz = b siguen limitando un área.Si F'(z) = f(z), definimos este área como -[F(b) – F(a)).
   • Damos esta definición porque queremos que el área de una región sea siempre positiva.
   • Ejemplo
     • Tenemos que hallar una función F(z) cuya derivada sea e/– 3. Por prueba y error llegamos a la conclusión de que F(z) = 3e/ - 3z. (Comprobar que F'(z) = e#/3 - 3). El área es por tanto igual a -[F(3 In 3) - F(0)} = -(3en - 3- 3 In 3-3e) = -(9-9 In 3-3) =9 In 3 - 6 3,89
   • El árca total limitada por la gráfica de f, el eje z, y las rectas z = ayz = b se calcula entonces determinando las áreas positivas en cada subintervalo [a, c1], [e1, c2]. [ez, ©3] y [e, b)

5. Problemas con valores iniciales

   • Hay infinitas "antiderivadas" o integrales indefinidas de una función dada, esto es, funciones cuya derivada es la dada.
   • Las gráficas de estas funciones son traslaciones unas de otras en la dirección del eje y.
   • Dado un punto arbitrario (ro, yo), existe una y sólo una de esas curvas que pasa por (zo, 40).
   • Para hallar la curva que pasa por (1, 1) se resuelve la ecuación F(1) = 1, 6 -(1 – 1)' +C = 1
     • La solución es C = 1, luego la función buscada es F(z ) = 1 - (z – 1) y F(1) = 1
       • Se llama a esto un problema con valores iniciales y a F(1) = 1 se le llama una condición inicial.

6. INTEGRAL DEFINIDA

   • Sea f una función continua definida en el intervalo (a, b).
     • Supongamos que la función F es continua en (a, b) y con derivada F'(z) = f(z) para todo zE (a, b)
   • Diferencia F(b) –F(a)
   • Esta diferencia no depende de qué integral indefinida F elijamos entre las infinitas posibles
   • Por tanto, la integral definida de f en (a, b) es un número que depende solamente de la función fy de los nomeros a y b.
   • La letra z es una variable muda en el sentido de que la integral es independiente de su nombre.
   • Propiedades

7. Las funciones continuas son integrables

   • Sea f(2) una función continua en (a, b). Hemos definido f(2) dz como el número F(b) - F(a). donde F(z ) es una función cuya derivada es f(z).
   • Por otra parte, dada la integral dz (relacionada seguramente con la "distribución normal" de la estadistica), se puede demostrar que no hay ninguna función estándar cuya derivada sea e"
   • Teorema 10.1 Si f es una función continua en (a, 6), existe una función F(z) derivable en la, 6) tal que F'(z) = f(z) para todo z€ (a, 6).

8. La integral de Riemann

   • Los matemiticos estudian otros tipos de integrales. Todos ellos dan el mismo resultado que la integral de (N-L) en el caso de funciones continuas.
   • La idea de la definición está relacionada con el método de exhaución que describimos en la introducción .
   • Sea f una funcion acolada en el inte rvalo a, bị yn un nimero catural. Subdividamos ja, 6 en n partes tomando puntos a= < z, < < <a- < Za - 5

9. Extracción del petróleo de un pozo

   • upongamos que en el instante -0 comenzamos a extraer petróleo de un pozo cuyas reservas se calculan en K barriles.
   • Definimos z(t) - cantidad de petróleo en barriles que queda en el instante t En particular, z(0) - K. Si suponemos que no podemos rellenar el pozo, z(t) es una función decreciente de t.
   • La cantidad de petrólco extralda en el intervalo de tiempo t,t - At (doe At > 0) es z(t) - z(t + At).
   • La cantidad extraida por unidad de tiempo es, por tanto, z(t + at) - z(t) At z(t) – z(t + At)
   • La magnitud z(t) es una reserva o un stock, medido en barriles. Por otra parte, ut) es un flujo, modido en barriles por unidad de tiempo.

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