T1:lim

T1:lim

1. límite de una función cuando x→∞

   • polinómicas
     • De forma general, si n>0
     • para hallarlo: observar el término de mayor grado y el signo de su coeficiente
   • racionales
     • De forma general, si n>0
     • 3 casos si
       • grado P> grado Q, lim = ±∞
       • grado P < grado Q, lim = 0
       • grado P = grado Q, lim= a/b
   • raices
     • mirar el término con mayor grado
       • raiz de indice par con radicando negativo = no existe
       • raiz de indice impar con radicando negativo = -∞
       • raiz de indice par con radicando positivo = +∞
       • en racionales con raíces siguen estas reglas:
       • sumas y restas de raíces
         • suma de infinitos = ∞
         • resta de infinitos de distinto grado : mirar que grado es mayor para saber si es + o - ∞
         • resta de infinitos del mismo grado= indeterminación
           • para resolverlo, multiplicar por el conjugado
   • exponenciales
     • base mayor que 1 = ∞
     • base entre 0 y 1 = 0
     • base es 1 = 1
     • exponente negativo = 0
     • con el numero e
       • 1^∞ = indeterminación
   • logarítmicas
   • trigonométricas
     • no tienen límite en ∞ por su carácter oscilante
   • términos dominantes
     • 1. exponencial
       • 2. polinómica
         • 3. logarítmica
           • 4. constantes
   • otros límites
     • no todos los limites tienen solución. A veces hay que dar valores acercándonos a infinito
       • • sen x: entre -1 y 1, el denominador tiende a ∞
       • • domina el denominador
   • Gráficas de los posibles casos

2. límite de una función cuando x→-∞

   • Gráficas de los posibles casos
   • se calculan igual que cuando tiende a ∞, pero teniendo en cuenta el signo
     • en algunos casos, sobre todo con raíces, es importante saber

3. limite de una función en un punto

   • hay dos casos especiales
     • indeterminación a/0
       • estudio de los límites laterales
         • limite por la izquierda y por la derecha. dando valores cercanos al número, tanto por un lado como por el otro.&nbsp; Ej: si tiende a 1, por la izquierda sería 0,9 y por la derecha, por 1,1
     • indeterminación 0/0
       • si es un polinomio, descomponer en factores
       • si hay raices, multiplicar por el conjugado
   • para calcularlo, sustituir las x por el número al que tiende

4. asíntotas paralelas a los ejes

   • A. vertical
     • cuando:
       • x= a es asíntota vertical
   • A. horizontal
     • cuando:
       • y= a es asíntota horizontal
   • asíntotas en funciones racionales P(x)/ Q(x)
     • posibles A.V. en los valores donde Q(x)=0
     • A.H. solo si el Grado de P≤ grado de Q
     • A.O. si grado de P = grado de Q +1

5. asíntotas oblicuas

   • una recta y= mx + n es asíntota de f(x si se cumple que:

6. limites de funciones definidas a trozos

   • la continuidad se estudia por partes y el punto de ruptura por separado

7. continuidad de una función en un punto

   • discontinuidades
     • evitables
       • existe el límite pero no f(c)
       • existen f(c) y el límite pero no son iguales
     • inevitables
       • de salto finito
         • existen los límites laterales pero no coinciden
       • de salto infinito
         • alguno de los límites laterales vale a más o menos infinito
   • una función es continua cuando
     • 1. debe existir el límite
       • 2. debe existir f(c)
         • 3. deben ser iguales
       • 1. debe existir lim por la izquierda y ser un numero real
       • 2. debe existir lim por la derecha y ser un numero real
       • 3.deben ser iguales

8. teoremas

   • continuidad en un intervalo cerrado
     • f(x) es continua en [a,b] si:
       • f es continua en todos los puntos de (a,b)
       • existe f (a) y coincide con el límite por la derecha
       • existe f(b) y coincide con en límite por la izquierda
   • teorema de weitrass
     • Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la función alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]
   • teorema de bolzano
     • Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del mismo toma valores de signo contrario, entonces existe al menos un punto en el interior de dicho intervalo en el cual la función se anula, es decir, existe al menos un c ∈(a, b) tal que f(c) = 0.
   • teorema del valor intermedio (propiedad de darboux)
     • Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.

9. Judith Gordillo Frías

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