FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

1. ¿A QUE SE LLAMA FUNCION REAL DE VARIABLE?

   • Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D → R con D Œ R, es decir, a cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D un único número real. variable independiente, y la variable dependiente y f la aplicación que indica como se obtiene el valor de y conocido el valor de x.

2. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

   • Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo conjunto, denominado recorrido. Decimos que estamos ante una función real de variable real cuando tanto el primer conjunto como el segundo está formados por números reales.
     • Las funciones describen fenómenos concretos, de distinto tipo: físicos, químicos, económicos o incluso psicológicos. Observamos la realidad mediante la experimentación y luego buscamos los modelos generales que describan dichos fenómenos. No en vano, el concepto de función surgió históricamente en un intento de generalizar las fórmulas concretas que relacionaban las magnitudes, de igual manera que en dichas fórmulas se había pasado de utilizar números concretos a letras (variables) que representaban números cualesquiera. En este apartado hemos estudiado las funciones reales. Gracias a ellas podemos describir distintos fenómenos que estudiaremos con profundidad en los temas de física.

3. FUNCION REAL

   • En la ilustración representamos el concepto de función real de variable real. Observa que la función f es una correspondencia, representada en la ilustración por una máquina azul, que asocia a cada elemento de un conjunto inicial llamado dominio (formado por números reales), otro número real de un conjunto denominado imagen o recorrido. Decimos que cada elemento concreto yi del recorrido es la imagen de un determinado elemento xi del dominio según yi=f(xi) . Decimos que xi es su antiimagen.

4. RESTRICCIONES DEL DOMINIO

   • En ocasiones puede resultar útil restringir el dominio de una función real a un subconjunto de ℝ. Recuerda que, aunque no se suela dar de manera explícita, tanto el dominio como el codominio forman parte de la propia definición formal de una función, y pueden cambiar enteramente las propiedades de esta, o incluso hacer que una correspondencia deje de ser considerada una función. De manera general, restringiremos el dominio de una función:
     • Cuando sea matemáticamente imposible realizar alguna operación con ciertos valores x
       • Cuando el contexto real del que se ha obtenido la función así lo determine
         • Cuando lo necesitemos por alguna otra razón

5. UNA FUNCION f(x) SE DICE

   • Función cóncava en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera 1 2 x x , ∈ I el segmento que une los puntos ( )( ) x fx x fx 11 22 , ( ) y , ( ) nunca se sitúa por encima de la gráfica.
     • Función estrictamente cóncava en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera 1 2 x x , ∈ I, el segmento que une los puntos (x fx x fx 11 22 , ( ) y , ( ) ) ( ) se sitúa por debajo de la gráfica.
       • Función convexa en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera 1 2 x x , ∈ I el segmento que une los puntos ( )( ) x fx x fx 11 22 , ( ) y , ( ) nunca se sitúa por debajo de la gráfica.
         • Función estrictamente convexa en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera 1 2 x x , ∈ I, el segmento que une los puntos (x fx x fx 11 22 , ( ) y , ( ) ) ( ) se sitúa por encima de la gráfica.

6. OPERACIONES CON FUNSIONES

   • Suma de f y g como (f + g)(x) = f(x) + g(x) siendo D(f+g) = D(f) ∩ D(g)
     • Producto de f por un escalar t como (t.f)(x) = t f(x) siendo D(t.f) = D(f)
       • Producto de f y g como (f.g)(x) = f(x) g(x) siendo D(f.g) = D(f) ∩ D(g)
         • Inversa de f: Esta función sólo se puede definir en el caso de que y = f(x) sea inyectiva, se denota 1 f − y se define como 1 f y x fx y ( ) ( ) − =⇔ = siendo D( 1 f − )= Im f. Las gráficas de una función f y de su inversa 1 f − son simétricas respecto de la recta y x = .

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