Unidad 3

Unidad 3

1. Actividad 8 - Integral indefinida

   • Objetivo: Definir la antiderivada y la integral indefinida y aplicar formulas básicas de integración.
     • Integrar: Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
       • Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x)son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x).
         • Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
     • Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
       • Se representa por ∫ f(x) dx. y se lee:
         • integral de f de x diferencial de x.
           • ∫ es el signo de integración
             • f(x) es el integrando o función a integrar
               • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra
                 • C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
                   • Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
     • Propiedades de la integral indefinida
       • 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
         • ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
       • 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
         • ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

2. Actividad 9 - Integral definida

   • Objetivo: Explicar, por medio del concepto de área, la integral definida como un límite de una suma especial; evaluar integrales definidas sencillas mediante el proceso de límite.
     • Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
       • Gráfica
       • La integral definida se representa por
         • • ∫= Es el signo de integración
           • a = Límite inferior de la integración
           • b = Límite superior de la integración
           • f(x) = es el integrado o función a integrar
           • dx = es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra
   • Propiedades de la integral definida:
     • 1.- El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
     • 2.- Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
     • 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
     • 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
     • 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
   • Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
   • Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

3. Actividad 10 - aplicaciones a la economía

   • Desarrollar conceptos económicos de excedente de los consumidores y excedente de los productores, los cuáles se representan mediante áreas.
     • El excedente productor es un concepto basado en la Ley de la Oferta y la Demanda, y es el beneficio adicional que obtienen por la venta de sus productos, ya que son capaces de venderlos a un precio mayor del que estarían dispuestos a cobrar.
     • El excedente del consumidor es el "sobrante" o ganancia monetaria del consumidor al adquirir un producto a un precio determinado, que es a la vez menor al precio estimado o al mayor precio existente (del producto) en el mercado.
       • La figura muestra una curva de oferta para un producto. La curva indica el precio de p por unidad al que un fabricante venderá q unidades. El diagrama también muestra la curva de demanda para el producto. Esta curva indica el precio por unidad al que los consumidores compraran q unidades
         • El punto (q0, p0) en el que las curvas intersecan se llama punto de equilibrio. Aquí, p0 es el precio por unidadal que los consumidores comprarán la misma cantidad q0 de un producto que los productores desean vender a ese precio.
           • De manera breve, p0 es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación productor consumidor.
             • Al sumar las áreas de todos los rectángulos desde q=0 hasta q=q0 mediante la integración definida, se tiene:
               • • Esta integral, bajo ciertas condiciones, representa la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio
                   • Esta ganancia total se llama excedente los consumidores y se abrevia EC. Si la función de demanda esta dada por p=f(q), entonces:
                   • Algunos de los productores también se benefician del precio de equilibrio, puesto que están dispuestos a suministrar el producto a precios menores que p0. Esta ganancia , llamada excedente de los productores y abreviada como EP esta dada por:

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