Técnicas De Conteo

Técnicas De Conteo

1. ¿Qué son las técnicas de conteo? Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Las más usadas son: - El diagrama de árbol - Análisis combinatorio.

   • PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
     • Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
       • N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
         • El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
   • Principio aditivo
     • Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
       • M + N + .........+ W maneras o formas
   • Permutaciones
     • Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
       • COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
         • COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
         • PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
   • Permutaciones con repetición
     • En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.
   • Pruebas ordenadas
     • Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:
       • Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:
         • Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr
       • Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.
         • Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene:
           • Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr
   • Combinaciones
     • Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
   • Particiones ordenadas
     • Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos.
       • Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno? Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;
   • Diagrama de árbol
     • Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.