CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Números Racionales ( Conjunto ℚ )

   • Son todos los números que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de 0
     • Tipos de fracciones
       • Impropias: el numerador es mayor o igual que el denominador.
       • Propias: el numerador es menor que el denominador.
       • Mixtas: tienen de una parte entera y una parte fraccionaria.
       • Fracciones equivalentes: fracciones que representan una misma cantidad
         • Simplificación: Dividir el numerador y denominador por un divisor común entre ambos.
         • Amplificación: multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número
     • Números decimales
       • Fracción decimal: el denominador es potencia de 10 (décimales finitos)
       • Conversión de decimal a fracción
         • Decimal finito: en el numerador se escribe el número sin la coma y en el denominador una potencia de 10 con tantos 0 como cifras después de la coma
         • Decimal infinito periódico: en el numerador se escribe el número sin la coma y se le resta la parte entera, y en el denominador tantos 9 como cifras bajo el perido
         • Decimal infinito semiperiódico: en el numerador se escribe el número sin la coma y se le resta lo que no está bajo el periodo, y en el denominador tantos 9 como cifras bajo el periodo y tantos 0 como cifras entre el periodo y la coma
     • Orden ( < > = )
       • Fracciones: se iguala el denominador y se comparan los numeradores o se multiplica cruzado
       • Decimales: se comparan las cifras de los números hasta que una sea mayor que la del otro número o si son iguales
     • Aproximación: representación inexacta de un número
       • Truncamiento: el número se corta y las cifras se quedan igual
       • Redondeo: Hay que fijarse en la primera cifra después de la coma. Si es menor que 5 el número queda igual, pero si es 5 o más se le suma una unidad.
       • Por exceso: el número aproximado es mayor al original
       • Por defecto: el número aproximado es menor al original
     • Operatoria
       • Adición y sustracción: se obtiene el m.c.m entre los denominadores y se suman los numeradores
       • Multipicación: se multiplican numeradores y denominadores hacia al lado
       • División: se da vuelta la segunda fracción y se multiplica hacia al lado
       • Los decimales infinitos se trabajan en fracción
     • Potencias de base 10
       • Una potencia de base 10 y exponente n es igual a un 1 seguido de n ceros.
       • Notación científica: los valores de posición están expresados como potencias de 10. El exponente n debe ser entero
   • Propiedades
     • Clausura: operaciones entre racionales dan como resultado racionales (adición, multiplicación y división)
     • Asociativa: si se agrupan los términos de cualquier manera el resultado no cambia (adición, multiplicación y división)
     • Conmutativa: el orden de los términos no altera el producto (adición, multiplicación y división)
     • Elemento neutro: el elemento neutro, es una cifra nula que si se opera con ella cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. (adición es el 0, multiplicación y división es el 1)
     • Inverso aditivo: existe un elemento negativo que anula la existencia del otro, cuando se suman dan 0 (adición)
     • Distributiva: al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos

2. Números Naturales ( Conjunto ℕ )

   • Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
     • Propiedades multiplicación y adición
       • Conmutatividad: a + b = b + a
       • Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c)
       • Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c)
       • Elemento Neutro: a · 1 = a
       • Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c
       • Cerrado o clausura: multiplicación y suma entre naturales resultan siempre naturales, la división y resta no
     • Orden
       • Hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden. Todos los naturales tienen un antecesor y sucesor excepto el 1
         • Los naturales van desde el 1, como primer elemento, hasta el infinito
     • Operatoria
       • Suma o adición: dos números llamados sumandos, se reúnen en uno sólo llamado suma o total.
       • Resta o sustracción: consiste en extraer o quitar de un número mayor (minuendo) otro menor (sustraendo) obteniendo una resta o diferencia.
       • Multiplicación: consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número, se obtiene el producto de dos factores
       • División: consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente.
     • Pueden ser par (2n) o impar (2n + 1)

3. Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

4. Números Cardinales ( Conjunto ℕ° )

   • Al conjunto de los números naturales se le agrega el 0 y se forma el conjunto de los números cardinales. N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
     • Orden
       • Sus elementos van del 0 al infinito
       • Todos tienen un antecesor y un sucesor excepto el 0
   • Múltiplos
     • Números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales. Cualquier número es múltiplo de 1 y de sí mismos
       • Mínimo común múltiplo (M.C.M)
         • Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.
   • Divisores
     • Valores que dividen al número en partes exactas. El 1 es divisor de todos los números y todos los números son divisores de sí mismos
       • Máximo común divisor (M.C.D)
         • El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.
   • Números primos y compuestos
     • Primos: número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
     • Compuestos: número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo

5. Números Enteros ( Conjunto Z )

   • Es el conjunto numérico que incluye los números naturales positivos, el 0 y los números negativos.
     • Propiedades multiplicación y adición
       • GRUPO ABELIANO: La adición en los enteros es grupo abeliano ya que tiene las 5 propiedades
         • Asociativa
         • Conmutativa
         • Elemento neutro
         • Cerrado o clausura
         • Elemento inverso u opuesto: para todo número entero, otro número entero que, sumado a él, da el elemento neutro (sólo presente en la adición)
       • Distributiva
   • Orden
     • Positivos: mientras más cerca del 0, el número es menor
     • Negativos: mientras más cerca del 0, el número es mayor
   • Valor absoluto
     • Distancia desde un número al punto de origen o cero. Para representar el valor absoluto se utilizan dos barritas verticales.
   • Operatoria
     • Multiplicación
     • Adición
       • Adición de dos números enteros positivos: se suman sus valores absolutos poniendo el signo +
       • Adición de dos números enteros negativos: se suman sus valores absolutos poniendo el signo –
       • Adición de un número entero positivo y otro negativo: Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del número entero que tiene mayor valor absoluto.
     • División

6. Números Irracionales ( Conjunto ℚ*)

   • Son los números que no pueden ser expresados como una fracción, números infinitos no periódicos, raíces, Pi π
     • Operatoria
       • La suma y resta entre un racional y un irracional da siempre un irracional
       • El producto y cuociente entre un irracional y un racional distinto de cero siempre da un irracional
       • La suma, resta y producto entre irracionales no siempre dan irracionales
     • Propiedades multiplicación y adición
       • Conmutativa
       • Cerrado o clausura
       • Elemento opuesto
       • Distributiva
       • Asociativa
     • Potencias: multiplicación un número por sí mismo las veces que nos indique el exponente.
       • Las raíces se pueden expresar como potencias
       • Logaritmos: el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho número.
         • Orden de logaritmos
           • Caso de igual bases: se comparan los argumentos
           • Caso de igual argumentos: se comparan las bases
           • Caso de distinta base y argumento: se cambian las bases por una en común
         • Propiedades logaritmos
       • Propiedades potencias
     • Orden de raíces
       • Caso de igual índices: se compara la cantidad subradical
       • Caso de igual cantidades subradicales: el de menor índice es el mayor
     • Propiedades de las raíces

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