FUNCIONES COMPLEJAS

FUNCIONES COMPLEJAS

1. Introducción

   • Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII. Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado.

2. Los números complejos pueden definirse informalmente como los números de la forma z = x + iy, donde i = √ −1, y x, y ∈ R. A primera vista puede parecer dudoso que tenga sentido considerar estos números, y que el suponer la mera existencia de un número i cuyo cuadrado sea −1 no lleve a contradicciones. Por descontado, tal número i no puede ser un número real, ya que el cuadrado de cualquier real es un real positivo

   • Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imaginarias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solución.
     • Para Leibnitz “el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.” Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
       • El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número complejo?”, sino que se dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos
         • El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814. Recordemos, finalmente, la afirmación de Hadamard “El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa con frecuencia por el análisis complejo”.

3. Fíjate en cada una de las ecuaciones: x+3 = 0, 2x+3 = 0, x 2 −2 = 0, x 2 +2x+2 = 0 Cuyas soluciones x = −3, x = −3/2, x = ± √ 2, x = −1±i tienen sentido cuando x es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Podría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara.

   • ¿Qué ocurrirá si ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo: x 5 + (1−i) x 4 + (1/5−i √ 2) x 2 −8x+3−i/ √ 3 = 0 ¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fundamental del Álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números
     • Las funciones complejas no son más que las funciones definidas en subconjuntos de R 2 con valores en R2 cuando en R 2 consideramos su estructura compleja. Dado un conjunto A ⊂ C, a toda función compleja f : A → C se le asocian dos funciones reales: la función u = Re f “parte real de f ” y la función v = Im f “parte imaginaria de f ” definidas para todo (x,y) = x+iy ∈ A por: u(x,y) = Re f(x+iy), v(x,y) = Im f(x+iy) Naturalmente, f(z) = Re f(z) +i Im f(z). La función conjugada de f es la función f dada por: f(z) = Re f(z)−I Im f(z). La función módulo de f es la función | f | dada por | f |(z) = | f(z)|.

4. Ejemplos

   • Si zi=4 +2i y z2= 3-2i hallar el valor numerico de cada una de las siguientes expresiones
     • Solución 2Z1 +Z2 = 2 (4+2i) + 3-2i =8+4i + 3-2i =11 + 6i =√(11^2+6^2 ) =√(121-36) =√85
   • Estudiar si la función: f(z)= 2 x3 + 2 x y – 6x y2 – 1 + i (6 x2 y + x2 – y2 – 2y3) es un polinomio complejo
     • Para que sea considerado un polinomio complejo debe de tener la forma: f(z)=an zn + an-1 z n-1 + … a1z +a0, aj Є C para j = 0, … n
       • La función f (z) se puede expresar como: f(z)= 2 x3 + 2 x y – 6x y2 – 1 + i (6 x2 y + x2 – y2 – 2y3) f(z)= 2 x3 + 2 x y – 6x y2 – 1 + i 6 x2 y + i x2 – i y2 – i2y3 f(z)= 2 x3 + i 6 x2 y – 6x y2 – i2y3 + i x2 – i y2 + 2xy – 1
         • dividiendo entre 2 el primer polinomio: f(z)= 2 x3 + i 6 x2 y – 6x y2 – i2y3 + i x2 – i y2 + 2xy – 1 2 f(z)= x3 + i 3 x2 y – 3x y2 – i y3 + i x2 – i y2 + 2xy – 1
           • multiplicando por 2 el primer polinomio: f(z)= 2 (x3 + i 3 x2 y – 3x y2 – i y3) + i x2 – i y2 + 2xy – 1 f(z)= 2 z3 + I z2 – 1 vemos que la función cumple con la definición predefinida.
   • Sea el número complejo z expresado en forma binomia : z=2+23√⋅i obtenerlo en su forma trigonométrica
     • El número complejo dado en su forma binomial, está localizado en el primer cuadrante del plano de Gauss puesto que sus dos componentes, real e imaginaria, son positivas. Para obtener su forma trigonométrica tenemos que calcular su módulo y su argumento, de acuerdo a las expresiones siguientes: ρ=√(a^2+b^2 ) ; θ= arctan (b/a)+2kπ=α+2kπ
       • Ya que se cumple: z=ρ (cosθ + i sinθ) Y sustituyendo valores numéricos: Ρ = √(2^2+ (2/√3)^2 ) Ρ =4/√3 Tan θ = 1/√3 θ = π/6rad θ = π/6 +2 k π con lo cual: z = 4/√3 [cos⁡〖(π/6+2kπ)+i sen (π/6+2 kπ)〗 ] Y tenemos al número complejo z expresado en forma trigonométrica
   • Determine la parte real y la parte imaginaria de la siguiente función: w = z2 − 5z + 3
     • Solución: sustituyendo en la función z = x + i y en w entonces nos queda w = (x + i y)2 − 5(x + i y) + 3 w = x2 + 2xyi − y2 − 5x − 5yi + 3 por lo tanto, la parte real es u = x2 − y2 − 5x + 3 y la parte imagina es v = 2xy − 5y
   • Determine la parte real y la parte imaginaria de la siguiente función: Si W = 3/(z-5)

5. Problemas propuestos

   • Determinar la parte real e imaginaria de las siguientes funciones: o
     • w= (z+2)/(z-2)
     • w= (z-4i)/(z+3 i)
     • w= |z-3iz|/(z-i)
     • w= e^z (z-i)
     • 5. Estudiar la función: f (z) = 2x3 + 2xy – 6xy2 – 1 + i (6x2y + x2 – y2 – 2y3 ) es un polinomio complejo

6. Conclusión

   • Las funciones complejas deben de analizarse desde los procesos de continuidad y dominio de una función pasando por conceptos de derivación y funciones trigonométricas hasta las series sus aplicaciones son muy extensas e importantes

7. Bibliografia

   • http://repobib.ubiobio.cl/jspui/bitstream/123456789/1952/1/Bravo_Sandoval_Maria.pdf http://fernandorevilla.es/analisis-real-y-complejo/ http://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/ManualAFVCDanielAzagra.pdf http://uvadoc.uva.es/bitstream/10324/11857/1/apuntes_VC_jun15.pdf https://www.fing.edu.uy/~eleonora/Recopilacion/Archivos/NotasEnsenanza/FuncionesVariableCompleja/Cauchy10.pdf http://electolibris.com/descargar2.php https://www.matematicasypoesia.com.es/ProbVarCompleja/ProbVarComPreg.htm http://verso.mat.uam.es/~dragan.vukotic/grado/var_com_I-18-19/varcomI_2018-19_apuntes_tmas-int.pdf https://www.uv.es/~anamat/practicas/pracom.pdf http://personales.upv.es/vmontesi/data/ficheros/Docencia/AMA/Problemas/selection.PDF https://www.youtube.com/playlist?list=PLHNPW87Np0tq1F8EMXDLuQUD193mmG1Fk https://www.ugr.es/~fjperez/textos/funciones_variable_compleja.pdf https://www.ucm.es/data/cont/docs/193-2013-10-17-Ejercicios%202008-2009.pdf http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Variable%20Com